Másodfokú egyenletek megoldásainak fejlődéstörténete

Arisztotelész

D. I. Mengyelejev

Keresse meg egy téglalap alakú mező oldalait, ha a területe az 12 , a

Tekintsük ezt a problémát.

• Legyen x a mező hossza, majd a szélessége,
• a területe.
• Készítsünk másodfokú egyenletet:
• A papirusz megadja a szabályt a döntéséhez: „Oszd el a 12-t ezzel”.
• 12: .
• Így, .
• "A mező hossza 4" - áll a papiruszban.

• Csökkentett másodfokú egyenlet
• hol vannak valós számok.

Az egyik babiloni feladatban meg kellett határozni egy téglalap alakú mező hosszát (jelöljük) és szélességét ().

Egy téglalap alakú mező hosszát és két szélességét összeadva 14-et kapunk, és a mező területe 24. Keresse meg az oldalait.

Készítsünk egyenletrendszert:

Innen egy másodfokú egyenletet kapunk.

A megoldáshoz hozzáadunk egy bizonyos számot a kifejezéshez,

egy teljes négyzet eléréséhez:

Következésképpen,.

Általában a másodfokú egyenlet

Két gyökere van:

• DIOPHANT
• Egy ókori görög matematikus, aki valószínűleg a Kr.e. 3. században élt. e. Az "Aritmetika" szerzője - az algebrai egyenletek megoldásának szentelt könyv.
• Napjainkban "diofantin-egyenletek" alatt általában egész együtthatós egyenleteket értünk, amelyek megoldását egész számok között kell keresni. Diophantus az elsők között volt, aki kifejlesztette a matematikai jelölést.

"Keress két számot úgy, hogy az összegük 20, a szorzatuk pedig 96."

Az egyik szám több mint fele lesz az összegének, azaz 10+, a másik kevesebb, azaz 10-.

Ezért a ()()=96 egyenlet

Itt van a híres egyik problémája

Bhaskara 12. századi indiai matematikus:

Nyüzsgő majomnyáj

Jól étkezni, szórakozni.

A nyolcadik részt négyzetre emelték

Szórakozás a réten.

És tizenkettő a szőlőben...

Ugrálni kezdtek, lógva...

Hány majom volt

Mondja, ebben a nyájban?

• Bhaskara megoldása azt jelzi, hogy tisztában volt a másodfokú egyenletek gyökereinek kétértékűségével.
• Az egyenlet megfelelő megoldása

• Bhaskara a formában és kiegészítésként írja bal oldal ennek az egyenletnek a négyzetéhez adunk 32 2-t mindkét oldalhoz, így kapunk

"AL-JEBR" - HELYREÁLLÍTÁS - AL-KHOREZMI A NEGATÍV TAGOK EGYENLETÉNEK MINDKÉT RÉSZÉBŐL A KIZÁRÁS MŰVELETÉT NEVEZTE EGYENLŐ TAGOK HOZZÁADÁSÁVAL, DE ELLENKEZÉS JELEN.

"AL-MUKABALA" - ELLENZÉS - CSÖKKENTÉS AZ UGYANAZON TAGOK EGYENLETÉNEK RÉSZEIBEN.

AZ "AL-JABR" SZABÁLYA

AZ EGYENLET MEGOLDÁSÁNAK

HA AZ ELSŐ RÉSZBEN,

NEM SZÁMÍT MI

TALÁLKOZNI A NEGATÍV TAGOT,

MINDKÉT RÉSZRE VAGYUNK

EGYENLŐ TAGOT adunk,

CSAK MÁS JELEKKEL,

ÉS POZITÍV EREDMÉNYT TALÁLJUK.

1) a négyzetek egyenlőek a gyökökkel, azaz;

2) a négyzetek egyenlőek egy számmal, azaz;

3) a gyökök egyenlőek a számmal, azaz;

4) a négyzetek és a számok egyenlőek a gyökekkel, azaz;

5) a négyzetek és a gyökök egyenlőek egy számmal, azaz;

6) a gyökök és a számok egyenlőek négyzetekkel, azaz .

Egy feladat . A négyzet és a 21 szám egyenlő 10 gyökkel. Keress egy gyökeret.

Megoldás. Osszuk fel a gyökerek számát - 5-öt kapunk, 5-öt megszorozunk önmagával,

Vonja le a szorzatból 21-et, így marad 4.

Vedd a 4 négyzetgyökét, és 2-t kapsz.

Vonja ki a 2-t 5-ből - 3-at kap, ez lesz a kívánt gyökér. Vagy add hozzá az 5-höz, ami 7-et ad, ez is egy gyökér.

Fibonacci olaszul született pláza Pisa városa, feltehetően az 1170-es években. . 1192-ben kinevezték az észak-afrikai pisai kereskedőkolónia képviseletére. Apja kérésére Algériába költözött, és ott matematikát tanult. 1200-ban Leonardo visszatért Pisába, és elkezdte írni első művét, Az abakusz könyvét. [ . A.P. Juskevics matematikatörténész szerint Az abakusz könyve” a módszerek változatossága és erőssége, a feladatok gazdagsága, a bemutatás bizonyítékai révén élesen a XII-XIV. századi európai aritmetikai és algebrai irodalma fölé emelkedik... A későbbi matematikusok széles körben merítettek belőle mind problémákat, mind pedig megoldásukra szolgáló módszerek ».

Ábrázoljuk a függvényt

• A gráf egy parabola, melynek ágai felfelé irányulnak, hiszen

2) Parabola csúcskoordináták

W. Sauer beszélt :

„Gyakran hasznosabb, ha egy algebrát tanuló háromban oldja meg ugyanazt a feladatot különböző utak mint három-négy különböző problémát megoldani. Egy probléma megoldása különféle módszerek, összehasonlításból megtudhatja, melyik a rövidebb és hatékonyabb. Így születik a tapasztalat."

"A város a különbözőek egysége"

Arisztotelész

"A tizedesjelben kifejezett számot egy német, egy orosz, egy arab és egy jenki ugyanúgy olvassa."

A Tatár Köztársaság Oktatási és Tudományos Minisztériuma

Önkormányzati költségvetési oktatási intézmény

"Usad középiskola

Viszokogorszkij önkormányzati kerület Tatár Köztársaság"

Kutatómunka:

"Sztori eseménynégyzet egyenletek»

Készítette: Andreeva Ekaterina,

8B osztályos tanuló

Tudományos tanácsadó:

Pozharskaya Tatyana Leonidovna,

matematika tanár

Bevezetés

Aki a jelenre akar korlátozódni

a múlt ismerete nélkül,

soha nem fogja megérteni.

G.V. Leibniz

Egyenletek az iskolai matematika tanfolyamon úgy vezető hely, de egyik egyenlettípus sem talált ilyet széles körű alkalmazás mint a másodfokú egyenletek.

A másodfokú vagy másodfokú egyenleteket még az ókori Babilonban is meg tudták oldani a Kr.e. II. évezredben. A másodfokú egyenletekhez vezető problémákat számos ősi matematikai kézirat és értekezés tárgyalja. És jelenleg számos algebrai, geometriai, fizikai problémát is másodfokú egyenletekkel oldanak meg. Ezek megoldásával az emberek választ találnak rájuk különféle kérdéseket tudomány és technológia.

Cél ez a tanulmány- másodfokú egyenletek keletkezésének történetét tanulmányozni.

E cél eléréséhez a következő feladatokat kell megoldani:

1. Tanulmányozza a témával kapcsolatos tudományos irodalmat.
2. Kövesse nyomon a másodfokú egyenletek kialakulásának történetét!

Tanulmányi tárgy: másodfokú egyenletek.

Tanulmányi tárgy: másodfokú egyenletek kialakulásának története.

A téma relevanciája :

1. Az emberek ősidők óta oldják meg a másodfokú egyenleteket. Meg akartam ismerni a másodfokú egyenletek keletkezésének történetét.
2. Az iskolai tankönyvekben nincs információ a másodfokú egyenletek kialakulásának történetéről.

Kutatási módszerek:

1. Munka oktató és ismeretterjesztő irodalommal.
2. Megfigyelés, összehasonlítás, elemzés.

A munka tudományos értéke véleményem szerint abban rejlik, hogy ez az anyag érdekes lehet a matematikát kedvelő iskolásoknak és a fakultatív órákon tanuló tanároknak.

Másodfokú egyenletek az ókori Babilonban.

Az ókori Babilonban nemcsak az első, hanem a másodfokú egyenletek megoldásának szükségességét a területek megtalálásával kapcsolatos problémák megoldásának igénye okozta. földterületekés katonai jellegű földmunkákkal, valamint magának a csillagászatnak és a matematikának a fejlődésével.

A modern algebrai jelölést alkalmazva elmondhatjuk, hogy ékírásos szövegeikben a hiányos szövegeken kívül vannak például teljes másodfokú egyenletek:

x 2 - x \u003d 14,5

Az egyenletek megoldására vonatkozó, a babiloni szövegekben megfogalmazott szabály lényegében egybeesik a modernnel, de nem ismert, hogy a babilóniaiak hogyan jutottak el ehhez a szabályhoz. Az eddig talált ékírásos szövegek szinte mindegyike csak a recept formájában megfogalmazott megoldási problémákat ad, a megtalálás módját nem jelzik.

Ellenére magas szint Az algebra fejlődése Babilonban, az ékírásos szövegekből hiányzik a koncepció negatív számés közös módszerek másodfokú egyenletek megoldásai.

Példa az egyik ebből az időszakból származó agyagtáblából.

"Két négyzet összegének területe 1000. Az egyik négyzet oldala a másik négyzet oldala mínusz 10. Mekkorák a négyzetek oldalai?"

Ez olyan egyenletekhez vezet, amelyek megoldása egy pozitív gyökű másodfokú egyenlet megoldására redukálódik.

Valójában az ékírásos szövegben a megoldás, mint minden keleti probléma esetében, a másodfokú egyenlet megoldásához szükséges számítási lépések egyszerű felsorolására korlátozódik:

„10-es tér; ez 100-at ad; 1000-ből kivonni 100-at; ez 900" stb.

Hogyan állította össze és oldotta meg Diophantus a másodfokú egyenleteket

Diophantus képviseli az egyik legtöbbet nehéz rejtvények a tudomány történetében. Ő volt az egyik legeredetibb ókori görög matematikus, Alexandriai Diophantus, akinek művei voltak nagyon fontos az algebrához és a számelmélethez. Egyelőre nem tisztázott Diophantus sem születési éve, sem halálozási dátuma. Fél évezred az az időszak, amikor Diophantus élhetett! Úgy tartják, hogy a Kr. u. 3. században élt. De Diophantus lakóhelye jól ismert - ez a híres Alexandria, a hellenisztikus világ tudományos gondolkodásának központja.

Diophantus művei közül a legfontosabb az aritmetika, melyből 13 könyvből csak 6 maradt fenn a mai napig.

Diophantus aritmetikája nem tartalmazza az algebra szisztematikus kifejtését, de egy szisztematikus feladatsort tartalmaz, magyarázatokkal kísérve, és egyenletek megfogalmazásával megoldva. különböző fokozatok.

Az egyenletek összeállításakor Diophantus ügyesen választ ismeretleneket, hogy leegyszerűsítse a megoldást.

Itt van például az egyik feladata.

Egy feladat: "Keress két számot úgy, hogy az összegük 20, a szorzatuk pedig 96"

Diophantus a következőképpen érvel: a feladat feltételéből az következik, hogy a kívánt számok nem egyenlőek, hiszen ha egyenlőek lennének, akkor a szorzatuk nem 96 lenne, hanem 100. Így az egyik a számuk több mint fele lesz. összeg, azaz . 10+x, a másik kisebb, i.e. 10-es. A különbség köztük 2x.

Ezért az egyenlet:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2-4 = 0 (1)

Innen x = 2. A kívánt számok egyike 12 , Egyéb 8 . Megoldás x = -2 mert Diophantus nem létezik, mivel a görög matematika csak pozitív számokat ismert.

Ha ezt a feladatot úgy oldjuk meg, hogy a kívánt számok egyikét ismeretlennek választjuk, akkor eljutunk az egyenlet megoldásához

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Nyilvánvaló, hogy Diophantus leegyszerűsíti a megoldást azzal, hogy a kívánt számok félkülönbségét választja ismeretlennek; sikerül a problémát egy hiányos másodfokú egyenlet (1) megoldására redukálnia.

Másodfokú egyenletek a Diophantus aritmetikából:

1. 12x2+x=1
2. 630x2 +73x=6.

India már az ókorban is híres volt a csillagászat, a nyelvtan és más tudományok terén szerzett tudásáról.

Az indiai tudósok a legnagyobb sikert ezen a területen érték el matematika. Ők voltak az aritmetika és az algebra megalapítói, amelyek fejlesztésében tovább mentek, mint a görögök.

A másodfokú egyenletekkel kapcsolatos problémák már megtalálhatók az "Aryabhattiam" csillagászati ​​értekezésben, amelyet 499-ben állítottak össze. Aryabhatta indiai matematikus és csillagász. Egy másik indiai tudós, Brahmagupta (7. század) kifejtette Általános szabály másodfokú egyenletek egyetlen kanonikus alakra redukált megoldásai: ax 2 +bx=c, a>0.

Brahmagupta uralma lényegében egybeesik a miénkkel.
NÁL NÉL ősi india gyakoriak voltak a nyilvános versenyek
nehéz problémák megoldásában. Az egyik ősi indiai könyvben a következőket mondják az ilyen versenyekről: „Ahogy a nap ragyogásával felülmúlja a csillagokat, úgy tudós ember elhomályosítani egy másik dicsőségét nyilvános üléseken, algebrai problémákat javasolva és megoldva.

A feladatok gyakran be voltak csomagolva költői forma.
Itt van a XII. század híres indiai matematikusának egyik problémája. Bhaskara:

« Nyüzsgő majomcsapat,

Jól étkezni, szórakozni.

Nyolcadik részük négyzetes,

Szórakozás a réten.

És tizenkettő a szőlőben...

Ugrálni kezdtek, lógva...

Hány majom volt

Mondja, ebben a nyájban?

Bhaskara megoldása azt jelzi, hogy tisztában volt a másodfokú egyenletek gyökereinek kétértékűségével.

A feladatnak megfelelő egyenlet

Bhaskara x 2 - 64x \u003d -768-at ír, és annak érdekében, hogy az egyenlet bal oldalát négyzetté tegye, adjon hozzá 32 2-t mindkét részhez, majd kapja:

x 2 -64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Másodfokú egyenletek Kínában (Kr. e. 1. évezred).

Az első kínai írásos emlékek, amelyek ránk kerültek, a Shang-korszakból származnak (Kr. e. XVIII-XII. század). És már a XIV századi jósló csontokon. időszámításunk előtt e., amelyet Henanban találtak, a számok jelölését megőrizték. De a tudomány igazi virágzása a XII. században kezdődött. időszámításunk előtt e. Kínát meghódították a Zhou nomádok. Ezekben az években a kínai matematika és csillagászat elképesztő magasságokat ért el. Megjelentek az első pontos naptárak és matematikai tankönyvek. Sajnos Qin Shi Huang (Shi Huangdi) császár "könyvek kiirtása" nem tette lehetővé, hogy a korai könyvek eljussanak hozzánk, de nagy valószínűséggel ezek képezték a későbbi munkák alapját.

A "Mathematics in Nine Books" az első matematikai esszé az ókori kínai klasszikusok sorozatából, egy csodálatos emlékmű ősi Kína a korai Han-dinasztia ideje (Kr. e. 206 - i.sz. 7). Ez az esszé változatos és gazdag matematikai anyagot tartalmaz, beleértve a másodfokú egyenleteket is.

Kínai feladat: „Van egy tározó, amelynek oldala 10 chi. A közepén nád nő, amely 1 chi-ig kinyúlik a víz fölé. Ha kihúzod a nádat a partra, akkor csak hozzáér. A kérdés az: mekkora a víz mélysége és mekkora a nádas hossza?

(x + 1) 2 \u003d x 2 +5 2,

x 2 + 2x + 1 \u003d x 2 +25,

Válasz: 12chi; 13 óra.

Al-Khwarizmi másodfokú egyenletei

"Én készítettem rövid könyv az algebra és az almukabala kalkulusáról, amely magában foglalja az egyszerű és nehéz kérdések számtan, mert az embereknek szüksége van rá. Al-Khwarizmi Muhammad bin Musa.

Al-Khwarizmi (Üzbegisztán) leginkább a „Kiegészítő és szembeállítás könyvéről” (“Al-kitab al mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala”) ismert, amelynek nevéből származik az „algebra” szó. . Ez az értekezés az első olyan könyv, amely eljutott hozzánk, amelyben szisztematikusan bemutatják a másodfokú egyenletek osztályozását, és megadják a megoldásukra vonatkozó képleteket.

Értekezésének elméleti részében al-Khwarizmi megadja az 1. és 2. fokú egyenletek osztályozását, és hat típusát azonosítja:

1) „A négyzetek egyenlőek a gyökekkel”, azaz ax 2 = bx. (példa:)

2) „A négyzetek egyenlőek egy számmal”, azaz ax 2 = s. (példa:)

3) "A gyökerek egyenlőek a számmal", azaz ax \u003d c. (példa:)

4) „A négyzetek és a számok egyenlőek a gyökekkel”, azaz ax 2 + c = bx. (példa:)

5) "A négyzetek és a gyökök egyenlőek a számmal", azaz ax 2 + bx \u003d c.

6) „A gyökök és a számok egyenlőek a négyzetekkel”, azaz bx + c == ax 2. (példa:)

Al-Khwarizmi számára, aki kerülte a negatív számok használatát, ezen egyenletek mindegyike összeadás, nem kivonás. Ebben az esetben nyilvánvalóan nem veszik figyelembe azokat az egyenleteket, amelyeknek nincs pozitív megoldása. A szerző felvázolja ezen egyenletek megoldásának módszereit al-jabr és al-muqabala módszereivel. Az ő döntése természetesen nem esik teljesen egybe a miénkkel. Arról nem is beszélve, hogy pusztán retorikai jellegű, meg kell jegyezni például, hogy az első típusú hiányos másodfokú egyenlet megoldása során al-Khwarizmi, mint minden 17. század előtti matematikus, nem veszi figyelembe a nullát. megoldás, valószínűleg azért, mert konkrét gyakorlati feladatoknál ez nem számít. A teljes másodfokú egyenletek megoldása során al-Khwarizmi meghatározott numerikus példákkal, majd azok geometriai bizonyításával határozza meg a megoldásukra vonatkozó szabályokat.

Vegyünk egy példát.

„A négyzet és a 21-es szám egyenlő 10 gyökkel. Találd meg a gyökeret"(az x 2 + 21 = 10x egyenlet gyökerét feltételezve).

A szerző megoldása így hangzik: „Oszd fel a gyökök számát, 5-öt kapsz, 5-öt szorozd meg önmagával, a szorzatból vond ki a 21-et, marad 4. Vegyük a 4 gyökét, kapunk 2-t. Vonjunk ki 2-t 5-ből, 3-at kapsz, ez lesz a kívánt gyökér. Vagy adj hozzá 2-t az 5-höz, ami 7-et ad, ez is egy gyökér.

Al-Khwarizmi híres egyenlete: "Egy négyzet és tíz gyök 39-nek felel meg." x 2 + 10x= 39 (IX. század). Értekezésében ezt írja: „A szabály a következő: ha megkétszerezi a gyökök számát, ötöt kap ebben a feladatban. Ha ezt hozzáadjuk a harminckilenchez, akkor hatvannégy. Ebből vegyünk gyökeret, nyolc lesz, és ebből vonjuk le a gyökök számának felét, i.e. öt, három lesz: ez lesz a négyzet gyökere, amit kerestél."

Másodfokú egyenletek Európában XII-XVII. század.

A másodfokú egyenletek Al-Khwarizmi mintájára Európában történő megoldásának formáit először az 1202-ben írt "Abacus könyve" írta le. Leonard Fibonacci olasz matematikus. A szerző önállóan dolgozott ki néhány új algebrai problémamegoldási példát, és Európában elsőként közelítette meg a negatív számok bevezetését.

Ez a könyv hozzájárult az algebrai ismeretek elterjedéséhez nemcsak Olaszországban, hanem Németországban, Franciaországban és más európai országokban is. Ebből a könyvből sok feladat átkerült szinte az összes 14-17. századi európai tankönyvbe. Az x 2 + bx \u003d c formára redukált másodfokú egyenletek megoldásának általános szabályát a b, c jelek és együtthatók összes lehetséges kombinációjával Európában M. Stiefel fogalmazta meg 1544-ben.

Vietának van egy általános levezetése a másodfokú egyenlet megoldására, de Vieta csak pozitív gyököket ismert fel. Tartaglia, Cardano, Bombelli olasz matematikusok az elsők között voltak a 16. században. a pozitív és negatív gyökerek mellett figyelembe kell venni. Csak a XVII. Girard, Descartes, Newton és mások munkáinak köszönhetően tudósok módjára másodfokú egyenleteket old meg úgy modern megjelenés.

Következtetés.

A másodfokú egyenletek képezik az alapot, amelyre a fenséges épület algebra. Különféle egyenleteket, másodfokú és magasabb fokú egyenleteket is megoldottak távoli őseink. Ezeket az egyenleteket a legkülönbözőbb és egymástól legtávolabbi országokban oldották meg. Nagy szükség volt az egyenletekre. Az egyenleteket az építőiparban, a katonai ügyekben és a mindennapi helyzetekben használták.

Napjainkban mindenki számára elengedhetetlen a másodfokú egyenletek megoldásának képessége. A másodfokú egyenletek gyors, racionális és helyes megoldásának képessége megkönnyíti a matematika tanfolyam számos témakörének áthaladását. A másodfokú egyenleteket nem csak a matematika órákon oldják meg, hanem a fizika, kémia, számítástechnika órákon is. A legtöbb gyakorlati probléma való Világ másodfokú egyenletek megoldására is redukálódik.

Irodalom

1. Bashmakova I. G. Diofantin és diofantin egyenletek. Moszkva: Nauka, 1972.
2. Berezkina E.I. Az ókori Kína matematikája - M.: Nauka, 1980
3. Pichurin L.F. Az algebra tankönyv lapjai mögött: Könyv. diákoknak

7-9 sejt. középiskola - M.: Felvilágosodás, 1990

1. Glazer G. I. Matematika története az iskolában VII - VIII osztály. Útmutató tanároknak. - M.: Felvilágosodás, 1982.

1.1. A másodfokú egyenletek keletkezésének történetéből

Az algebra különféle problémák egyenletekkel történő megoldása kapcsán merült fel. Általában problémák esetén egy vagy több ismeretlent kell találni, miközben ismerjük a kívánt és megadott mennyiségeken végrehajtott egyes műveletek eredményét. Az ilyen feladatok egy vagy több egyenletrendszer megoldására redukálódnak, adott mennyiségeken végzett algebrai műveletek segítségével a kívántak megtalálására. Algebra tanulmányok általános tulajdonságok mennyiségekkel kapcsolatos intézkedések.

Néhány algebrai technikát lineáris és másodfokú egyenletek megoldására már 4000 évvel ezelőtt ismertek az ókori Babilonban.

Másodfokú egyenletek az ókori Babilonban

Az ókorban nemcsak az első, hanem a másodfokú egyenletek megoldásának igényét a katonai jellegű földterületek és földművek felkutatásával, valamint a csillagászat fejlődésével kapcsolatos problémák megoldásának igénye okozta. maga a matematika. A babilóniaiak Kr.e. 2000 körül tudták, hogyan kell másodfokú egyenleteket megoldani. A modern algebrai jelölést alkalmazva elmondhatjuk, hogy ékírásos szövegeikben a hiányos szövegeken kívül vannak például teljes másodfokú egyenletek:

Az egyenletek megoldására vonatkozó, a babiloni szövegekben megfogalmazott szabály lényegében egybeesik a modernnel, de nem ismert, hogy a babilóniaiak hogyan jutottak el ehhez a szabályhoz. Az eddig talált ékírásos szövegek szinte mindegyike csak a recept formájában megfogalmazott megoldási problémákat ad, a megtalálás módját nem jelzik. Annak ellenére, hogy Babilonban magas az algebra fejlettsége, az ékírásos szövegekből hiányzik a negatív szám fogalma és a másodfokú egyenletek megoldásának általános módszerei.

Diophantus aritmetikája nem tartalmazza az algebra szisztematikus kifejtését, hanem egy szisztematikus feladatsort tartalmaz magyarázatokkal kísérve, amelyeket különböző fokú egyenletek felállításával oldanak meg.

Az egyenletek összeállításakor Diophantus ügyesen választ ismeretleneket, hogy leegyszerűsítse a megoldást.

Itt van például az egyik feladata.

2. feladat "Keress két számot, tudva, hogy összegük 20, szorzatuk pedig 96."

Diophantus a következőképpen érvel: a feladat feltételéből az következik, hogy a kívánt számok nem egyenlőek, hiszen ha egyenlőek lennének, akkor a szorzatuk nem 96, hanem 100 lenne. Így az egyik több lesz, mint összegük fele, azaz .10 + x. A másik kisebb, azaz 10 - x. 2x a különbség köztük. Ezért az egyenlet:

(10+x)(10-x)=96,

Tehát x = 2. A kívánt számok egyike 12, a másik 8. Az x = - 2 megoldás Diophantusra nem létezik, mivel a görög matematika csak pozitív számokat ismert.

Ha ezt a feladatot megoldjuk, az egyik ismeretlen számot ismeretlennek választva, akkor eljuthatunk az egyenlet megoldásához:

Nyilvánvaló, hogy Diophantus leegyszerűsíti a megoldást azzal, hogy a kívánt számok félkülönbségét választja ismeretlennek; sikerül a problémát egy hiányos másodfokú egyenlet megoldására redukálnia.

Másodfokú egyenletek Indiában

A másodfokú egyenletekkel kapcsolatos problémák már megtalálhatók az Aryabhattam csillagászati ​​értekezésben, amelyet Aryabhatta indiai matematikus és csillagász állított össze 499-ben. Egy másik indiai tudós, Brahmagupta (7. század) felvázolta az egyetlen kanonikus formára redukált másodfokú egyenletek megoldásának általános szabályát:

ax 2 + bx \u003d c, a> 0. (1)

Az (1) egyenletben az együtthatók negatívak is lehetnek. Brahmagupta uralma lényegében egybeesik a miénkkel.

Indiában gyakoriak voltak a nyilvános versenyek a nehéz problémák megoldásában. Az egyik régi indiai könyvben a következőt mondják az ilyen versenyekről: „Ahogy a nap ragyogóan felülmúlja a csillagokat, úgy a tanult ember is felülmúlja a dicsőséget a nyilvános üléseken, ahol algebrai feladatokat javasol és old meg.” A feladatokat gyakran költői formába öltöztették.

Itt van a XII. század híres indiai matematikusának egyik problémája. Bhaskara.

Bhaskara megoldása azt jelzi, hogy a szerző tisztában volt a másodfokú egyenletek gyökereinek kétértékűségével.

A 3. feladatnak megfelelő egyenlet:

Bhaskara ezt írja leple alatt:

x 2 - 64x = - 768

és ennek az egyenletnek a bal oldalának a négyzethez való kiegészítéséhez adjunk hozzá 32 2-t mindkét oldalhoz, majd kapjuk:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Al-Khwarizmi másodfokú egyenletei

Al-Khwarizmi algebrai értekezése a lineáris és másodfokú egyenletek osztályozását adja meg. A szerző 6 típusú egyenletet sorol fel, ezeket a következőképpen fejezi ki:

1) „A négyzetek egyenlőek a gyökekkel”, azaz ax 2 = bx.

2) „A négyzetek egyenlőek a számmal”, azaz ax 2 = c.

3) "A gyökerek egyenlőek a számmal", azaz ax \u003d c.

4) „A négyzetek és a számok egyenlőek a gyökekkel”, azaz ax 2 + c = bx.

5) "A négyzetek és a gyökök egyenlőek a számmal", azaz ax 2 + bx \u003d c.

6) „A gyökök és a számok egyenlőek a négyzetekkel”, azaz bx + c == ax 2.

Al-Khwarizmi számára, aki kerülte a negatív számok használatát, ezen egyenletek mindegyike összeadás, nem kivonás. Ebben az esetben nyilvánvalóan nem veszik figyelembe azokat az egyenleteket, amelyeknek nincs pozitív megoldása. A szerző felvázolja ezen egyenletek megoldásának módszereit al-jabr és al-muqabala módszereivel. Az ő döntése természetesen nem esik teljesen egybe a miénkkel. Arról nem is beszélve, hogy pusztán retorikai jellegű, meg kell jegyezni például, hogy az első típusú hiányos másodfokú egyenlet megoldása során Al-Khwarizmi, mint minden 17. század előtti matematikus, nem veszi figyelembe a nullát. megoldás, valószínűleg azért, mert konkrét gyakorlati feladatoknál ez nem számít. A teljes másodfokú egyenletek megoldása során Al-Khwarizmi meghatározott numerikus példákkal, majd azok geometriai bizonyításával határozza meg a megoldásukra vonatkozó szabályokat.

Vegyünk egy példát.

4. feladat „A négyzet és a 21 szám egyenlő 10 gyökkel. Keresse meg a "gyököt" (az x 2 + 21 \u003d 10x egyenlet gyökerét jelenti).

Megoldás: oszd fel a gyökök számát, 5-öt kapsz, 5-öt megszorozod önmagával, a szorzatból kivonsz 21-et, marad 4. Vedd a 4 gyökét, kapsz 2-t. Vonsz ki 2-t 5-ből, kapsz 3-at, ez lesz a kívánt gyökér. Vagy adj hozzá 2-t az 5-höz, ami 7-et ad, ez is egy gyökér.

Al-Khwarizmi értekezése az első olyan könyv, amely eljutott hozzánk, amelyben szisztematikusan bemutatják a másodfokú egyenletek osztályozását, és megadják a megoldásukra vonatkozó képleteket.

Másodfokú egyenletek Európában XII-XVII. század.

A másodfokú egyenletek Al-Khwarizmi mintájára Európában történő megoldásának formáit először az 1202-ben írt "Abacus könyve" írta le. Leonard Fibonacci olasz matematikus. A szerző önállóan dolgozott ki néhány új algebrai problémamegoldási példát, és Európában elsőként közelítette meg a negatív számok bevezetését.

Ez a könyv hozzájárult az algebrai ismeretek elterjedéséhez nemcsak Olaszországban, hanem Németországban, Franciaországban és más európai országokban is. Ebből a könyvből sok feladat átkerült szinte az összes 14-17. századi európai tankönyvbe. A másodfokú egyenletek megoldásának általános szabályát egyetlen kanonikus formára x 2 + bx \u003d c a b, c jelek és együtthatók összes lehetséges kombinációjával, Európában M. Stiefel fogalmazta meg 1544-ben.

Vietának van egy általános levezetése a másodfokú egyenlet megoldására, de Vieta csak pozitív gyököket ismert fel. Tartaglia, Cardano, Bombelli olasz matematikusok az elsők között voltak a 16. században. a pozitív és negatív gyökerek mellett figyelembe kell venni. Csak a XVII. Girard, Descartes, Newton és más tudósok munkáinak köszönhetően a másodfokú egyenletek megoldásának módszere modern formát ölt.

A gyakorlati problémák megoldására szolgáló algebrai módszerek eredete a tudományhoz kapcsolódik ókori világ. A matematikatörténetből ismert, hogy az egyiptomi, sumér, babiloni írnokok-számítógépek által megoldott matematikai jellegű problémák jelentős része (Kr. e. XX-VI. század) számított természetű volt. Azonban már ekkor is felmerültek olyan problémák, amelyekben egy mennyiség kívánt értékét valamilyen közvetett feltétel határozta meg, amely modern szemszögünkből egy egyenlet vagy egyenletrendszer megfogalmazását követeli meg. Kezdetben aritmetikai módszereket alkalmaztak az ilyen problémák megoldására. Később elkezdtek kialakulni az algebrai ábrázolások kezdetei. Például a babiloni számológépek olyan problémákat tudtak megoldani, amelyek csökkenthetőek modern osztályozás másodfokú egyenletekhez. Szöveges feladatok megoldására született egy módszer, amely később az algebrai komponens kiemelésének és önálló vizsgálatának alapjául szolgált.

Ezt a vizsgálatot már egy másik korszakban végezték, először arab matematikusok (Kr. u. VI-X. század), akik rávilágítottak arra a jellegzetes cselekvésre, amellyel az egyenleteket redukálták alapforma hasonló tagok redukálása, kifejezések áthelyezése az egyenlet egyik részéből a másikba előjelváltással. Aztán a reneszánsz európai matematikusai hosszas keresés eredményeként megalkották a modern algebra nyelvét, a betűhasználatot, az aritmetikai műveletek szimbólumainak bevezetését, zárójeleket stb. A XVI. 17. századok. Az algebra, mint a matematika sajátos része, amelynek megvan a maga tárgya, módszere, alkalmazási területei, már kialakult. Ennek továbbfejlesztése korunkig a módszerek tökéletesítésében, az alkalmazási kör bővítésében, a fogalmak tisztázásában és a matematika más ágai fogalmaival való kapcsolatában állt.

Tehát, tekintettel az egyenlet fogalmához kapcsolódó anyag fontosságára és kiterjedtségére, annak tanulmányozása modern módszertan a matematika eredetének és működésének három fő területéhez kapcsolódik.

Az ókorban nemcsak az első, hanem a másodfokú egyenletek megoldásának igényét a katonai jellegű földterületek és földművek felkutatásával, valamint a csillagászat fejlődésével kapcsolatos problémák megoldásának igénye okozta. maga a matematika. A másodfokú egyenleteket Kr.e. 2000 körül tudták megoldani. e. babilóniaiak.

A modern algebrai jelölést alkalmazva elmondhatjuk, hogy ékírásos szövegeikben a hiányos szövegeken kívül vannak például teljes másodfokú egyenletek:

x 2 + X = *; x 2 - X = 14,5

Az egyenletek megoldására vonatkozó, a babiloni szövegekben megfogalmazott szabály lényegében egybeesik a modernnel, de nem ismert, hogy a babilóniaiak hogyan jutottak el ehhez a szabályhoz. Az eddig talált ékírásos szövegek szinte mindegyike csak a recept formájában megfogalmazott megoldási problémákat ad, a megtalálás módját nem jelzik.

Annak ellenére, hogy Babilonban magas az algebra fejlettsége, az ékírásos szövegekből hiányzik a negatív szám fogalma és a másodfokú egyenletek megoldásának általános módszerei.

Hogyan állította össze és oldotta meg Diophantus a másodfokú egyenleteket.

Diophantus aritmetikája nem tartalmazza az algebra szisztematikus kifejtését, hanem egy szisztematikus feladatsort tartalmaz magyarázatokkal kísérve, amelyeket különböző fokú egyenletek felállításával oldanak meg.

Az egyenletek összeállításakor Diophantus ügyesen választ ismeretleneket, hogy leegyszerűsítse a megoldást.

Itt van például az egyik feladata.

11. feladat."Keress két számot úgy, hogy az összegük 20, a szorzatuk pedig 96"

Diophantus a következőképpen érvel: a feladat feltételéből az következik, hogy a kívánt számok nem egyenlőek, hiszen ha egyenlőek lennének, akkor a szorzatuk nem 96 lenne, hanem 100. Így az egyik a számuk több mint fele lesz. összeg, azaz . 10+x, a másik kisebb, i.e. 10-es. A különbség köztük 2x.

Ezért az egyenlet:

(10 + x) (10 - x) = 96

Innen x = 2. A kívánt számok egyike 12 , Egyéb 8 . Megoldás x = -2 mert Diophantus nem létezik, mivel a görög matematika csak pozitív számokat ismert.

Ha ezt a feladatot úgy oldjuk meg, hogy a kívánt számok egyikét ismeretlennek választjuk, akkor eljutunk az egyenlet megoldásához

y(20 - y) = 96,

nál nél 2 - 20 év + 96 = 0. (2)

Nyilvánvaló, hogy Diophantus leegyszerűsíti a megoldást azzal, hogy a kívánt számok félkülönbségét választja ismeretlennek; sikerül a problémát egy hiányos másodfokú egyenlet (1) megoldására redukálnia.

Másodfokú egyenletek Indiában

A másodfokú egyenletekkel kapcsolatos problémák már megtalálhatók az "Aryabhattam" csillagászati ​​traktátusban, amelyet Aryabhatta indiai matematikus és csillagász állított össze 499-ben. Egy másik indiai tudós, Brahmagupta (7. század) felvázolta az egyetlen kanonikus formára redukált másodfokú egyenletek megoldásának általános szabályát:

Ó 2 + bx = c, a > 0. (1)

Az (1) egyenletben az együtthatók, kivéve a a, negatív is lehet. Brahmagupta uralma lényegében egybeesik a miénkkel.

Az ókori Indiában gyakoriak voltak a nyilvános versenyek a nehéz problémák megoldásában. Az egyik régi indiai könyvben a következőt mondják az ilyen versenyekről: „Ahogy a nap felülmúlja a csillagokat ragyogásával, úgy a tanult ember is felülmúlja a másik dicsőségét a nyilvános összejöveteleken, algebrai feladatokat javasolva és megoldva.” A feladatokat gyakran költői formába öltöztették.

Itt van a XII. század híres indiai matematikusának egyik problémája. Bhaskara.

13. feladat.

„Egy nyüzsgő majomcsapat és tizenkettő a szőlőben…

Miután evett erőt, jól érezte magát. Ugrálni kezdtek, lógva...

Nyolcadik részük egy négyzetben Hány majom volt ott,

Szórakozás a réten. Mondja, ebben a nyájban?

Bhaskara megoldása azt jelzi, hogy tudott a másodfokú egyenletek gyökeinek kétértékűségéről (3. ábra).

A 13. feladatnak megfelelő egyenlet:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara ezt írja leple alatt:

x 2 - 64x = -768

és hogy ennek az egyenletnek a bal oldalát négyzetté egészítse ki, mindkét oldalt hozzáadja 32 2 , akkor kapok:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Hogyan állította össze és oldotta meg Diophantus a másodfokú egyenleteket. Ezért az egyenlet: (10 + x) (10 - x) \u003d 96 vagy: 100 - x2 \u003d 96 x2 - 4 \u003d 0 (1) Diophantus x \u003d -2 megoldása nem létezik, mivel a görög matematika csak pozitív számokat tudott.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="(!LANG: Másodfokú egyenletek Indiában. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Másodfokú egyenletek al-Khorezmiben. 1) "A négyzetek egyenlőek a gyökökkel", azaz ax2 + c \u003d bx. 2) „A négyzetek egyenlőek a számmal”, azaz ax2 = c. 3) "A gyökerek egyenlőek a számmal", azaz ah \u003d c. 4) „A négyzetek és a számok egyenlőek a gyökekkel”, azaz ax2 + c = bx. 5) „A négyzetek és a gyökök egyenlőek egy számmal”, azaz ax2 + bx = c. 6) "A gyökök és a számok egyenlőek a négyzetekkel", azaz bx + c \u003d ax2.

Másodfokú egyenletek Európában a 13–17. században. x2 + bx = c, a b, c együtthatók minden lehetséges előjel-kombinációjával Európában csak 1544-ben fogalmazta meg M. Stiefel.

Vieta tételére. "Ha B + D szorzata A - A 2 egyenlő BD-vel, akkor A egyenlő B-vel és D-vel." A modern algebra nyelvén Vieta fenti megfogalmazása azt jelenti: ha (a + b)x - x2 = ab, azaz x2 - (a + b)x + ab = 0, akkor x1 = a, x2 = b.

Másodfokú egyenletek megoldási módszerei. 1. MÓDSZER: Az egyenlet bal oldalának faktorokra bontása. Oldja meg az x2 + 10 x - 24 = 0 egyenletet. Tényezőzze a bal oldalt: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Ezért az egyenlet a következőképpen írható át: (x + 12) (x - 2) = 0 Mivel a szorzat nulla, akkor legalább az egyik tényezője nulla. Ezért az egyenlet bal oldala eltűnik x = 2 és x = - 12 esetén is. Ez azt jelenti, hogy a 2 és -12 szám az x2 + 10 x - 24 = 0 egyenlet gyöke.

2. MÓDSZER: Teljes négyzet kiválasztási módszer. Oldjuk meg az x2 + 6 x - 7 = 0 egyenletet. Válasszunk ki egy teljes négyzetet a bal oldalon. Ehhez az x2 + 6 x kifejezést a következő formában írjuk fel: x2 + 6 x \u003d x2 + 2 x 3. A kapott kifejezésben az első tag az x szám négyzete, a második pedig a x kétszeres szorzata 3-mal. Ezért ahhoz, hogy teljes négyzetet kapjunk, hozzá kell adni 32-t, mert x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Most átalakítjuk az x2 + 6 x - 7 \u003d 0 egyenlet bal oldalát, hozzáadva és kivonva 32-t. A következőt kapjuk: x2 + 6 x - 7 \u003d x2 + 2 x 3 + 32 - 7 \u003d (x) + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16. Így ez az egyenlet a következőképpen írható fel: (x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 \u003d 16 Ezért x + 3 - 4 \u003d 0, x1 = 1 vagy x + 3 = -4, x2 = -7.

3. MÓDSZER: Másodfokú egyenletek megoldása képlettel. Az ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 4 a-val, és egymás után a következőt kapjuk: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac ,

4. MÓDSZER: Egyenletek megoldása a Vieta-tétel segítségével. Mint tudják, az adott másodfokú egyenlet alakja x2 + px + c \u003d 0. (1) Gyökei kielégítik a Vieta-tételt, amely \u003d 1 esetén x 1 x 2 \u003d q, x 1 + x 2 \u003d - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 és x 2 = 1, mivel q = 2 > 0 és p = - 3 0 és p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = 5 és x 2 = 1, mivel q \u003d - 5 0; x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 és x 2 = 1, mivel q \u003d - 9

5. MÓDSZER: Egyenletek megoldása "transzfer" módszerrel. Tekintsük az ax2 + bx + c \u003d 0 másodfokú egyenletet, ahol a ≠ 0. Mindkét részét megszorozva a-val, az a 2 x2 + abx + ac \u003d 0 egyenletet kapjuk. Legyen ax \u003d y, innen x \ u003d y/a; akkor a + ac = 0-val y2 + egyenlethez jutunk, amely ekvivalens a megadottal. Az y1 és y2 gyököket a Vieta-tétel segítségével találjuk meg. Végül megkapjuk x1 = y1/a és x1 = y2/a.

Példa. Oldjuk meg a 2 x2 - 11 x + 15 = 0 egyenletet. Megoldás. A 2-es együtthatót „dobjuk” a szabad tagra, ennek eredményeként az y2 - 11 y + 30 = 0 egyenletet kapjuk. A Vieta-tétel szerint y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Válasz : 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. MÓDSZER: Másodfokú egyenlet együtthatóinak tulajdonságai. A. Legyen egy ax2 + bx + c \u003d 0 másodfokú egyenlet, ahol a ≠ 0. 1) Ha a + b + c \u003d 0 (azaz az együtthatók összege nulla), akkor x1 \u003d 1, x2 \u003d c / a. Bizonyíték. Az egyenlet mindkét oldalát elosztva a ≠ 0-val, megkapjuk az x 2 + b / a x + c / a \u003d 0 redukált másodfokú egyenletet. A Vieta-tétel szerint x 1 + x 2 \u003d - b / a, x 1 x 2 \u003d 1 c / a. Az a - b + c = 0 feltétellel, ahonnan b = a + c. Így x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a, x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a), azaz x1 \u003d -1 és x2 \u003d c / a, amit bizonyítani kellett.

B. Ha a második b \u003d 2 k együttható páros szám, akkor a C gyökképlet. A fenti x2 + px + q \u003d 0 egyenlet egybeesik az egyenlettel Általános nézet, ahol a = 1, b = p és c = q. Ezért a redukált másodfokú egyenlethez a gyökök képlete

7. MÓDSZER: Másodfokú egyenlet grafikus megoldása. Ha az x2 + px + q = 0 egyenletben a második és a harmadik tagot átvisszük a jobb oldalra, akkor x2 = - px - q kapjuk. Készítsünk y \u003d x2 és y \u003d - px - q függőségi gráfokat.

1. példa) Oldjuk meg grafikusan az x2 - 3 x - 4 = 0 egyenletet (2. ábra). Megoldás. Az egyenletet x2 \u003d 3 x + 4 alakban írjuk fel. Konstruálunk egy y \u003d x2 parabolát és egy y \u003d 3 x + 4 egyenest. Egy y \u003d 3 x + 4 egyenest kettővel is megépíthetünk M (0; 4) és N (3; 13) pont. Válasz: x1 = - 1; x2 = 4

8. MÓDSZER: Másodfokú egyenletek megoldása iránytűvel és vonalzóval. négyszögletes körző és vonalzó gyökereinek megtalálása (5. ábra). Egyenletek Ekkor a szekáns tétel alapján OB OD = OA OC, innen OC = OB OD/ OA= x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 -val

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="(!LANG:1) A kör sugara nagyobb, mint a középponti ordináta (AS > SK vagy R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. MÓDSZER: Másodfokú egyenletek megoldása nomogram segítségével. z 2 + pz + q = 0. A nomogram görbe skáláját a képletek szerint építjük fel (11. ábra): OS = p, ED = q, OE = a (mind cm-ben) feltételezve, A háromszögek hasonlóságából SAN és CDF megkapjuk az arányt

Példák. 1) A z 2 - 9 z + 8 = 0 egyenlethez a nomogram a z 1 = 8, 0 és z 2 = 1, 0 gyököket adja (12. ábra). 2) A nomogram segítségével megoldjuk a 2 z 2 - 9 z + 2 = 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek az együtthatóit elosztjuk 2-vel, megkapjuk a z 2 - 4, 5 z + 1 = 0 egyenletet. A nomogram megadja a gyökök z 1 = 4 és z 2 = 0, 5. 3) A z 2 - 25 z + 66 \u003d 0 egyenletnél a p és q együtthatók skálán kívül esnek, végrehajtjuk a z \u003d 5 t helyettesítést, mi kapjuk meg a t 2 - 5 t + 2, 64 \u003d 0 egyenletet, amelyet nomogramokkal oldunk meg, és kapjuk, hogy t 1 = 0,6 és t 2 = 4,4, ahonnan z 1 = 5 t 1 = 3,0 és z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. MÓDSZER: Másodfokú egyenletek geometriai megoldása. Példák. 1) Oldjuk meg az x2 + 10 x = 39 egyenletet. Az eredetiben ez a probléma a következőképpen van megfogalmazva: "A négyzet és a tíz gyök egyenlő 39-cel" (15. ábra). Az eredeti négyzet kívánt x oldalára azt kapjuk

y2 + 6 y - 16 = 0. A megoldást az ábra mutatja. 16, ahol y2 + 6 y = 16, vagy y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Megoldás. Az y2 + 6 y + 9 és 16 + 9 kifejezések geometriailag ugyanaz a négyzet, és az eredeti y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 egyenlet ugyanaz. Ahonnan azt kapjuk, hogy y + 3 = ± 5, vagy y1 = 2, y2 = - 8 (16. ábra).