A fuzzy halmazok elmélete lehetővé teszi fuzzy nyelvileg definiált változók használatát egy vezérlőalgoritmus szintézisében.

A fuzzy halmazok elmélete a személy által használt, rosszul definiált fogalmak ábrázolására szolgáló formális eszközök és az azokat feldolgozó apparátus kidolgozásától a hozzávetőleges érvelés modellezéséig jutott el, amelyhez az ember a mindennapi életében, ill. szakmai tevékenységés még a fuzzy logikával rendelkező számítógépek létrehozása előtt.

A fuzzy halmazok elmélete lehetővé teszi, hogy egy objektum szigorú tagságát egy bizonyos halmazban egy folyamatos tagsággal helyettesítsük. A fuzzy halmazok elméletének, a katalitikus folyamatok kutatási alkalmazásának megismeréséhez az olvasó a Sec.

A fuzzy halmazelméletet gyakran összekeverik a valószínűségszámítással. Valójában kritikusai azzal érveltek, hogy a fuzzy halmazelmélet nem képes megoldani azokat a problémákat, amelyek nincsenek megfogalmazva Valószínűségi elmélet. Ezen értékek kivételével a két mérőszám meglehetősen különbözik, bár mindkettő a bizonytalanság mérőszámaként írható le. Ezek közül mindegyik a bizonytalanság más-más aspektusát méri.

A fuzzy halmazok elméletében, mint ismeretes, tagsági függvényeket használnak, amelyeket a fuzzy halmazokra jellemző függvényekként értelmeznek. 0-val egyenlő értéke annak az állításnak felel meg, hogy az adott x elem nem tartozik A-hoz, 1-gyel egyenlő értéke pedig feltétel nélküli tagságát e halmazban. A közbenső értékeket / id (g) nem valószínűségi értelemben kell értelmezni, mivel egy elem fuzzy halmazhoz való tartozásának mértéke nem kell, hogy statisztikai jellegű legyen.

A fuzzy halmazok elméletében fontos szerepet játszik a két fuzzy reláció kombinációjának koncepciója.

A fuzzy halmazok elméletében számos halmazra vonatkozó műveletet vezetnek be, amelyeknek meg kell felelniük a fuzzy kifejezések kombinációinak és azok szemantikai terheléseinek az alkalmazott problémák megoldása során. A cikk megjegyzi, hogy egy adott esetben a fuzzy halmazokon végzett műveleteknek meg kell felelniük a közönséges halmazok elméletének műveleteinek. Konkrét problémák megoldása során: minden kutató felhasználja tudását a vizsgálat tárgyáról és az egyes műveletek szerepéről.

A fuzzy halmazelméletben a legtöbb aritmetikai művelet folytonos tartományokra van definiálva. A diszkrét régiókra vonatkozó műveleteket általában speciális esetként emelik ki.

A fuzzy halmazok elméletében a (2.1) - (2.5) axiómákat kielégítő (T) művelet megadásának módjaitól függően végtelen számú fuzzy művelet létezik I. A fuzzy vezérlés elméletében a következő típusait használják.

A fuzzy halmazelmélet elemei sikeresen alkalmazhatók bizonytalanság melletti döntéshozatalban. A fuzzy logika a legkényelmesebb módja az összetett technológiai folyamatok vezérlőrendszereinek felépítésének, és a diagnosztikai és egyéb szakértői rendszerekben is alkalmazásra talált. Annak ellenére, hogy a fuzzy logika matematikai apparátusát először az Egyesült Államokban fejlesztették ki, aktív fejlesztés Ez a módszer Japánban kezdődött, A fuzzy logika területén végzett kutatások széles körű pénzügyi támogatásban részesültek, Európában és az Egyesült Államokban erőfeszítéseket tettek a japánokkal szembeni óriási szakadék megszüntetésére.

A fuzzy halmazok elméletének axiomatikája azonban jelentősen eltér a valószínűségszámítás axiomatikájától, és lehetővé teszi egyszerűbb számítási eljárások alkalmazását. Ennek belátásához elegendő figyelembe venni a fuzzy halmazok egyesülésének és metszetének műveleteit.

Megemlítjük még a fuzzy halmazok elméletét, amelyben a kezdeti fogalmakat fuzzy halmazokkal és változókkal írják le, és ennek megfelelően a kapott megoldást fuzzy halmazok formájában értelmezik. mint show konkrét példák, ezek a módszerek sok tekintetben hasonlítanak a statisztikai módszerekhez. Használatuk során a megfigyelési eredmények tagsági függvényeit adottnak tételezzük fel, és ezek alapján kapjuk meg a végső eredményekhez tartozó tagsági függvényeket.

A fuzzy halmazok elmélete

Az emberi intelligencia legszembetűnőbb jellemzője az a képesség, hogy megfelelő döntéseket hozzon a hiányos és homályos információk környezetben. A közelítő emberi gondolkodás modelljeinek felépítése és felhasználása a jövő generációinak számítógépes rendszereiben a mai tudomány egyik legfontosabb problémája.

Tanuláskor összetett rendszerek ahol egy személy jelentős szerepet játszik, ott az úgynevezett inkompatibilitás elve működik: ahhoz, hogy jelentős következtetéseket vonjunk le egy komplex rendszer viselkedéséről, el kell hagyni. magas színvonalú pontosság és szigorúság, amelyek a viszonylag egyszerű rendszerekre jellemzőek, és hogy elemzésébe vonjunk be közelítő jellegű megközelítéseket.

Az emberi tudás formalizálása során a kutatók olyan problémába ütköztek, amely megnehezítette a hagyományos matematikai apparátus használatát azok leírására. A leírásoknak egy egész osztálya létezik, amelyek a tárgyak minőségi jellemzőire vonatkoznak (sok, kevés, erős, nagyon stb.) Ezek a jellemzők általában homályosak és nem értelmezhetők egyértelműen, de fontos információkat tartalmaznak (például „Az influenza egyik lehetséges jele a magas hőfok").

A fuzziness kategóriája és a kapcsolódó modellek és módszerek világnézeti szempontból nagyon fontosak, hiszen megjelenésükkel lehetővé vált, hogy kvantitatív elemzésnek vethessük alá azokat a jelenségeket, amelyeket korábban vagy csak minőségi szinten lehetett figyelembe venni, vagy szükséges volt. nagyon durva modellek használata.

Ebben az irányban mintegy 35 évvel ezelőtt jelentős előrelépést tett a Kaliforniai Egyetem (Berkeley) professzora, Lotfi A. Zadeh. Munkái képezték a modellezés alapját szellemi tevékenység az ember és egy új matematikai elmélet kidolgozásának kezdeti lendületét jelentették.

Mit javasolt Zade? Először is kibővítette a halmaz klasszikus fogalmát, feltételezve, hogy a karakterisztikus függvény (egy halmazban lévő elem tagsági függvénye) a (0; 1) intervallumban tetszőleges értéket vehet fel, nem csak a 0 értékeket. vagy 1. Az ilyen halmazokat fuzzy-nak (fuzzy) nevezte. L. Zadeh emellett számos műveletet definiált fuzzy halmazokon, és javasolta a jól ismert logikai következtetés modus ponens és modus tollens módszereinek általánosítását.

Miután bevezette a nyelvi változó fogalmát, és feltételezve, hogy a fuzzy halmazok értékeként (kifejezésként) működnek, L. Zade megalkotott egy apparátust az intellektuális tevékenység folyamatainak leírására, beleértve a kifejezések homályosságát és határozatlanságát.

Íme L. Zadeh álláspontja: "Úgy gondolom, hogy a pontosság iránti túlzott vágy olyan hatást vált ki, amely semmissé teszi az irányításelméletet és a rendszerelméletet, mivel ez oda vezet, hogy a kutatás ezen a területen azokra, ill. csak azokat a problémákat, amelyek pontos megoldásra alkalmasak. Ennek eredményeként a fontos problémák sok olyan osztálya, amelyekben az adatok, célok és megszorítások túl bonyolultak vagy rosszul meghatározottak ahhoz, hogy lehetővé tegyék a pontos matematikai elemzést, kimaradtak és maradnak is azon az alapon, hogy nem alkalmasak matematikai kezelésre. Ahhoz, hogy bármi jelentőset mondjunk az ilyen jellegű problémákra, fel kell adnunk a pontosság iránti igényünket, és el kell ismernünk a kissé homályos vagy határozatlan eredményeket."

A fuzzy halmazok matematikai elmélete lehetővé teszi a fuzzy fogalmak és ismeretek leírását, ezzel a tudással operációt és fuzzy következtetések levonását. Ezen elmélet alapján a számítógépes fuzzy rendszerek felépítésének módszerei jelentősen kibővítik a számítógépek körét.

A Fuzzy Logic alapvetően egy többfeladatos logika, amely lehetővé teszi, hogy köztes értékeket határozzon meg a standard pontszámok között, mint pl. Igen/Nem, igaz/hamis, fekete/fehér, stb. Olyan fogalmak "elég meleg" vagy "elég hideg" matematikailag megfogalmazható és számítógépekkel feldolgozható. Így kísérlet történt az emberszerű gondolkodás alkalmazására a számítógépes programozásban.

Az utóbbi időben a fuzzy vezérlés a fuzzy halmazelmélet alkalmazásának egyik legaktívabb és legtermékenyebb kutatási területe. A fuzzy szabályozás különösen akkor hasznos, ha technológiai folyamatok túl bonyolultak ahhoz, hogy hagyományos kvantitatív módszerekkel elemezzék őket, vagy ahol a rendelkezésre álló információforrásokat minőségileg, pontatlanul vagy homályosan értelmezik. Kísérletileg kimutatták, hogy a fuzzy szabályozás jobb eredményeket ad a hagyományos szabályozási algoritmusokkal kapott eredményekhez képest. A fuzzy módszerek segítenek a nagyolvasztó és a hengermű, az autó és a vonat irányításában, a beszéd és a képek felismerésében, valamint érintéssel és látással rendelkező robotok tervezésében. A fuzzy logika, amelyen a fuzzy vezérlés alapul, lélekben közelebb áll az emberi gondolkodáshoz és a természetes nyelvekhez, mint a hagyományos logikai rendszerek. A fuzzy logika biztosítja hatékony eszközök bizonytalanságok és pontatlanságok megjelenítése való Világ. Elérhetőség matematikai eszközök a kezdeti információk homályosságának tükrözése lehetővé teszi a valóságnak megfelelő modell felépítését.

2. A BIZONYTALANSÁG LEÍRÁSA A DÖNTÉSHOZAT-ELMÉLETBEN

2.4. A bizonytalanságok leírása fuzzy elmélet segítségével

2.4.1. fuzzy halmazok

Hadd A- néhány készlet. Részhalmaz B készletek A jellemző funkciója jellemzi

Mi az a fuzzy halmaz? Általában azt mondják, hogy a fuzzy részhalmaz C készletek A tagsági függvénye jellemzi A tagsági függvény értéke egy pontban x mutatja ennek a pontnak a fuzzy halmazhoz való tartozás mértékét. A fuzzy halmaz a pontnak megfelelő bizonytalanságot írja le x- a fuzzy készlet tartalmazza és nem is tartalmazza VAL VEL. Belépésnél - esély, másodiknál ​​- (1-) esély.

Ha a tagsági függvény egyeseknél az (1) formátumú B, Azt C van egy közönséges (tiszta) részhalmaz A. Így a fuzzy halmazelmélet nem kevésbé általános matematikai tudományág, mint a közönséges halmazelmélet, mivel a közönséges halmazok a fuzzy halmazok speciális esetei. Ennek megfelelően várható, hogy a fuzziness elmélet egésze általánosítja a klasszikus matematikát. Később azonban látni fogjuk, hogy a fuzziness elmélete bizonyos értelemben a véletlenhalmazok elméletére redukálódik, és így a klasszikus matematika része. Más szóval, a hagyományos matematika és a fuzzy matematika egyenértékű az általánosság szempontjából. Azonban azért praktikus alkalmazás a döntéselméletben nagyon eredményes a bizonytalanságok leírása és elemzése a fuzzy halmazok elméletével.

Egy közönséges részhalmaz azonosítható a jellemző funkciójával. Ezt nem a matematikusok teszik meg, hiszen egy függvény definiálásához (a jelenlegi megközelítésben) először egy halmazt kell definiálni. Egy fuzzy részhalmaz formális szempontból azonosítható a tagsági funkciójával. A "fuzzy részhalmaz" kifejezés azonban előnyösebb a szerkesztés során matematikai modellek valódi jelenségek.

A fuzziness elmélet az intervallummatematika általánosítása. Valóban, a tagsági funkció

meghatározza az intervallum bizonytalanságát – a vizsgált értékről csak azt tudjuk, hogy az adott intervallumban van [ a,b]. Így a bizonytalanságok leírása fuzzy halmazok segítségével általánosabb, mint intervallumok segítségével.

A homályosság modern elméletének kezdetét az azerbajdzsáni származású amerikai tudós, L. A. Zadeh 1965-ös munkája teremtette meg. A mai napig több ezer könyv és cikk jelent meg erről az elméletről, számos nemzetközi folyóirat jelenik meg, és meglehetősen sok elméleti és alkalmazott munka is született. Egy orosz szerző első könyve a fuzziness elméletről 1980-ban jelent meg.

L.A. Zadeh a fuzzy halmazok elméletét a humanisztikus rendszerek elemzésének és modellezésének eszközének tekintette, i.e. rendszerek, amelyekben az emberek részt vesznek. Szemlélete azon a feltevésen alapul, hogy az emberi gondolkodás elemei nem számok, hanem valamilyen elmosódott halmaz vagy tárgyosztály elemei, amelyeknél a „tartozásból” a „nem-tartozásba” való átmenet nem hirtelen, hanem folyamatos. Jelenleg a fuzzy elméleti módszereket szinte minden alkalmazott területen alkalmazzák, beleértve a vállalatirányítást, a termékminőséget és a technológiai folyamatokat.

L.A. Zadeh a "fuzzy set" (fuzzy set) kifejezést használta. A "fuzzy" kifejezést az orosz nyelvre homályosnak, homályosnak, homályosnak, sőt bolyhosnak és ködösnek fordították.

A fuzziness elmélet apparátusa nehézkes. Példaként megadjuk a halmazelméleti műveletek definícióit fuzzy halmazokon. Hadd CÉs D- két fuzzy részhalmaz A tagsági funkciókkal és ill. kereszteződés, termék CD, unió , tagadás , összeg C+ D fuzzy részhalmazoknak nevezzük A tagsági funkciókkal

illetőleg.

Mint már említettük, a fuzzy halmazok elmélete bizonyos értelemben a valószínűség elméletére redukálódik, nevezetesen a véletlen halmazok elméletére. Az alábbiakban a megfelelő tételsort adjuk meg. Az alkalmazott problémák megoldása során azonban a valószínűségi-statisztikai módszereket és a fuzzy elméleti módszereket általában eltérőnek tekintik.

A fuzzy halmazok sajátosságainak megismeréséhez vegye figyelembe néhány tulajdonságukat.

A következőkben feltételezzük, hogy minden tekintett fuzzy halmaz ugyanannak a halmaznak a részhalmaza Y.

De Morgan törvényei fuzzy halmazokra. Mint ismeretes, a halmazok algebrájának következő azonosságait Morgan-törvényeknek nevezzük

1. tétel. A fuzzy halmazoknál az identitások

(4)

Az 1. Tétel bizonyítása a (3) és (4) relációk érvényességének közvetlen ellenőrzéséből áll, az ezekben a relációkban részt vevő fuzzy halmazok tagsági függvényeinek értékeinek kiszámításával a fent megadott definíciók alapján.

A (3) és (4) identitás meg lesz hívva de Morgan törvényei fuzzy halmazokra. A relációk klasszikus esetével (2) ellentétben négy azonosságból állnak, amelyek közül az egyik pár az egyesülés és a metszés, a másik pedig a szorzat és az összeg műveleteire vonatkozik. A halmazok algebrájának (2) relációjához hasonlóan a fuzzy halmazok algebrájában a de Morgan-törvények lehetővé teszik olyan kifejezések és képletek transzformációját, amelyek negációs műveleteket tartalmaznak.

Eloszlási törvény fuzzy halmazokra. A halmazműveletek egyes tulajdonságai nem érvényesek fuzzy halmazokra. Igen, kivéve amikor A- "clear" set (azaz a tagsági függvény csak a 0 és 1 értékeket veszi fel).

Igaz-e az eloszlási törvény a fuzzy halmazokra? A szakirodalom néha homályosan állítja, hogy "nem mindig". Tegyük teljesen világossá.

2. tétel. Bármilyen homályos készlethez A, BÉs VAL VEL

Ugyanakkor az egyenlőség

akkor és csak akkor igaz mindenkire

Bizonyíték. Egy tetszőleges elemet rögzítünk. A jelölés lerövidítéséhez az azonosság bizonyításához (5) jelöljük, hogy ezt meg kell mutatni

Vegye figyelembe a három szám különböző sorrendjét a, b, c. Hadd először Aztán bal oldal reláció (7) és a helyes, azaz. egyenlőség (7) érvényes.

Legyen Akkor a (7) relációban a bal oldalon van és a jobb oldalon, azaz. a (7) reláció ismét egyenlőség.

Ha ekkor a (7) relációban balra és jobbra áll, azaz. mindkét rész ismét megegyezik.

Három másik számsorrend a, b, c nem kell szétszedni, hiszen a (6) relációban a számok bÉs c szimmetrikusan lépjen be. Az (5) azonosság bizonyított.

A 2. Tétel második állítása abból a tényből következik, hogy a fuzzy halmazokra vonatkozó műveletek definíciói szerint

Ez a két kifejezés akkor és csak akkor, és mikor esik egybe, amit bizonyítani kellett.

1. definíció. A fuzzy halmaz hordozója A az összes pont gyűjteménye , amelyekre

A 2. tétel következménye. Ha a fuzzy halmazok hordozói BAN BENÉs VAL VEL egybeesik U, akkor egyenlőség (6) akkor és csak akkor történik meg, ha A -"tiszta" (vagyis hétköznapi, klasszikus, nem fuzzy) halmaz .

Bizonyíték. Feltétel szerint az összes . Ekkor a 2. tételből az következik, hogy azok. vagy , ami azt jelenti A- átlátszó készlet.

2.4.2. Példa a bizonytalanság leírására a használatával

homályos készlet

A "gazdag" fogalmát gyakran használják a társadalmi-gazdasági problémák megvitatása során, beleértve az előkészítést és a döntéshozatalt is. Nyilvánvaló azonban, hogy különböző emberek eltérő tartalmat helyeznek el ebbe a koncepcióba. A Magas Statisztikai Technológiák és Ökonometriai Intézet munkatársai 1996-ban szociológiai tanulmányt készítettek a népesség különböző szegmenseinek a "gazdag ember" fogalmáról alkotott felfogásáról.

A mini felmérés így nézett ki:

1. Milyen havi jövedelem mellett (millió rubel/fő) tekintené magát gazdag embernek?

2. Ha felmérte jelenlegi jövedelmét, melyik kategóriába tartozik:

a) a gazdagok

b) a gazdagság átlagon felüli;

c) a vagyon átlag alatti;

d) a szegények;

e) a szegénységi küszöb alatt?

(A jövőben a kategóriák teljes neve helyett betűkkel operálunk, pl. "c" - kategória, "b" - kategória stb.)

3. Szakmád, szakterületed.

Összesen 74 főt kérdeztek meg, ebből 40 fő tudós és tanár volt, 34 fő nem a tudomány és az oktatás területén foglalkoztatott, köztük 5 dolgozó és 5 nyugdíjas. Az összes megkérdezett közül csak egy(!) tartja magát gazdagnak. Az 1. táblázatban több tipikus kutatói és oktatói válasz található, és hasonló információk a dolgozók számára kereskedelmi szféra- a 2. táblázatban.

Asztal 1.

A tudósok és tanárok tipikus válaszai

Válaszok a 3. kérdésre		Válaszok az 1. kérdésre, millió rubel/fő		Válaszok a 2. kérdésre
PhD
Tanár
	Idősebb. Kutató
	Fizikus mérnök
	Programozó
	tudós

2. táblázat

Tipikus válaszok a kereskedelmi dolgozóktól.

Válaszok a 3. kérdésre	Válaszok az 1. kérdésre	Válaszok a 2. kérdésre
Bank alelnöke
Helyettes bank igazgatója
Főnök. hitelosztály
Értékpapír osztály vezetője
Főkönyvelő
Könyvelő
bankvezető
Tervezési Osztály vezetője

Az első kérdésre adott válaszok tartománya 1-100 millió rubel. havonta személyenként. A felmérés eredményei azt mutatják, hogy a vagyon kritériuma a pénzügyi dolgozók körében általában valamivel magasabb, mint a tudományos munkásoké (lásd az alábbi 1. és 2. ábra hisztogramjait).

A felmérés kimutatta, hogy azonosítani kell konkrét jelentése a "teljes boldogsághoz" szükséges mennyiség kis szórással is lehetetlen, ami teljesen természetes. Amint az 1. és 2. táblázatból látható, pénzbeli egyenértékű a vagyon havi 1 és 100 millió rubel között mozog. Megerősítést nyert az a vélemény, hogy a pedagógusok túlnyomó többsége a "c" és az alatti kategóriába sorolja vagyonát (a válaszadók 81%-a), ezen belül az "e" kategória 57%-ának tulajdonította jövedelmét.

A kereskedelmi struktúrák és költségvetési szervezetek alkalmazottaival más a kép: "g" - 1. kategória (4%), "e" - 4. kategória (17%), "b" - kategória - 46% és 1 fő a" - kategória .

A nyugdíjasok, ami nem meglepő, a "d" kategóriába sorolták a jövedelmüket (4 fő), a "g" kategóriát pedig mindössze egy fő jelölte meg. A dolgozók a következőképpen válaszoltak: 4 fő - "c", és egy fő - "b".

Az általános kép bemutatására a 3. táblázat az egyéb szakmákban dolgozók válaszaira vonatkozó adatokat közöl.

3. táblázat

A különböző szakmák dolgozóinak jellemző válaszai.

Válaszok a 3. kérdésre	Válaszok az 1. kérdésre	Válaszok a 2. kérdésre
kereskedelmi dolgozó
Sofőr
Katona
Benzinkút tulajdonos
Nyugdíjas
gyárigazgató
Háziasszony
Szerelő
Számítógép kezelője
Szociális munkás
Építészmérnök

nyomon követni érdekes jelenség: minél magasabb egy ember vagyoni léce, annál alacsonyabbnak tartja magát ehhez a sávhoz képest.

Természetes, hogy hisztogramokat használunk az adatok összegzésére. Ehhez csoportosítani kell a válaszokat. 7 osztályt (intervallumot) használtak:

1 - legfeljebb 5 millió rubel személyenként havonta (beleértve);

2 - 5-10 millió;

3- 10-15 millió;

4 - 15-20 millió;

5 - 20-25 millió;

6 - 25-30 millió;

7 - több mint 30 millió.

(Minden intervallumban a bal oldali szegély nincs kizárva, a jobb oldali pedig éppen ellenkezőleg.)

Az összefoglaló információk az 1. ábrán (kutatók és oktatók számára) és a 2. ábrán láthatók (az összes többi, azaz a tudomány és az oktatás területén nem foglalkoztatott személyek – egyéb költségvetési szervezetek, kereskedelmi struktúrák alkalmazottai, munkavállalók, nyugdíjasok) esetében.

1. ábra. Az 1. kérdésre adott válaszok hisztogramja kutatók és tanárok számára (40 fő).

2. ábra. Az 1. kérdésre adott válaszok hisztogramja a tudomány és az oktatás területén nem foglalkoztatott személyekre (34 fő).

Két kiválasztott csoportra, valamint a második csoport néhány alcsoportjára összesített átlagjellemzőket számoltunk - minta aritmetikai átlagokat, mediánokat, módusokat. Ugyanakkor a csoport mediánja a millió rubel száma, amelyet a válaszadók sorszáma központinak nevez az 1. kérdésre növekvő válaszsorokban, a csoport módusa pedig az az intervallum, amelyen a hisztogram oszlopa a legmagasabb, azaz. "megkapta" a maximális számú válaszolót. Az eredmények a táblázatban láthatók. 4.

4. táblázat

Az 1. kérdésre adott válaszok összefoglaló átlagos jellemzői

különböző csoportok számára (millió rubelben havonta személyenként).

Megkérdezett csoport	számtan
Kutatók és tanárok
A tudomány és az oktatás területén nem foglalkoztatott személyek
Kereskedelmi struktúrák és költségvetési szervezetek alkalmazottai
nyugdíjasok

Építsünk egy fuzzy halmazt, amely a „gazdag ember” fogalmát írja le a válaszadók elképzeléseinek megfelelően. Ehhez az 1. és 2. ábra alapján összeállítjuk az 5. táblázatot, figyelembe véve az első kérdésre adott válaszok körét.

5. táblázat

Az intervallumokba eső válaszok száma

	Intervallum száma
	Intervallum, millió rubel havonta
	Válaszok száma intervallumon belül
	A válaszok aránya az intervallumban
	kumulatív válaszok
	Halmozott válaszarány

5. táblázat folytatása.

	Intervallum száma
	Intervallum, millió rubel havonta
	Válaszok száma intervallumon belül
	A válaszok aránya az intervallumban
	kumulatív válaszok
	Halmozott válaszarány

Az 5. táblázat ötödik sora határozza meg annak a fuzzy halmaznak a tagsági függvényét, amely a "gazdag ember" fogalmát fejezi ki havi jövedelme alapján. Ez a fuzzy halmaz az 5. táblázat 2. sorában megadott 9 intervallumból álló halmaz egy részhalmaza. Vagy egy 9 feltételes számból álló halmaz (0, 1, 2, ..., 8). Az empirikus eloszlásfüggvény, amely a minikérdőív első kérdésére adott 74 válaszadó mintájára épül, a "gazdag ember" fogalmát a pozitív féltengely fuzzy részhalmazaként írja le.

2.4.3. Az árazási módszertan kidolgozásáról

fuzzy halmazelmélet alapján

A mennyiségi értékeléssel nem rendelkező mutatók értékeinek értékeléséhez használhatja a fuzzy halmazok módszereit. Például P.V. Bityukov szerint fuzzy halmazokat használtak az e-learning kurzusok árképzési problémáinak modellezéséhez. távoktatás. Tanulmányt végzett a "kurzus minőségi szintje" faktor értékeiről fuzzy halmazok segítségével. A javasolt P.V. gyakorlati felhasználása során. Bityukov árazási módszerek, számos más tényező értéke is meghatározható a fuzzy halmazok elméletével. Használható például arra, hogy szakértők segítségével meghatározza egy egyetemi szakértékelés előrejelzését, valamint a „Tanfolyam jellemzői” csoporthoz kapcsolódó egyéb tényezők értékeit. Ismertesse P.V. megközelítését. Bityukov a fuzzy halmazelmélet gyakorlati alkalmazásának példájaként.

A „Tanfolyam minőségi szintje” faktor egyes intervallumaihoz rendelt értékelés értékét univerzális skálán határozzák meg, ahol el kell helyezni a „Tanfolyam minőségi szintje” nyelvi változó értékeit: ALACSONY, KÖZEPES, MAGAS. Egy bizonyos értékhez való tartozás mértéke az adott skálán előforduló válaszok számának és az összes intervallumban adott válaszok maximális (ennek az értéknek) számának az aránya.

A disszertáció munkája során szakértői felmérés készült arról, hogy az elektronikus kurzusok minőségi szintje milyen mértékben befolyásolja azok használati értékét. A felmérés során minden szakértőt arra kértek, hogy a minőségi szinttől függően értékelje egy adott tanfolyami osztály értékét a fogyasztó szempontjából. A szakértők az egyes kurzusosztályokra 10 fokú skálán (ahol 1 - min, 10 - max) adták értékelésüket. Az univerzális skálára való átlépéshez a 10 pontos értékskála összes értékét elosztottuk a maximális 10-es pontszámmal.

A tagsági függvény tulajdonságait felhasználva szükséges az adatok előfeldolgozása a felmérés okozta torzulások csökkentése érdekében. A tagsági függvények természetes tulajdonságai egy maximum jelenléte és a nullára bomló sima frontok. A statisztikai adatok feldolgozásához használhatja az úgynevezett hint mátrixot. A nyilvánvalóan hibás elemeket előzetesen eltávolítják. Az eltávolítási feltétel az, hogy az elem körüli karakterláncban több nulla legyen.

A tippmátrix elemeit a következő képlet számítja ki: ,

ahol a táblázat egy eleme a felmérés eredményeivel, intervallumok szerint csoportosítva. A tippmátrix egy karakterlánc, amelyben a maximális elem van kiválasztva: , majd az összes elemét a következő képlet szerint konvertáljuk:

.

Azoknál az oszlopoknál, ahol , lineáris közelítést alkalmazunk:

.

A számítási eredményeket táblázatban foglaljuk össze, amely alapján a tagsági függvények felépülnek. Ehhez keresse meg a maximális elemek számát a sorokban: . A tagsági függvény kiszámítása a következő képlettel történik: . A számítási eredményeket a táblázat tartalmazza. 6.

6. táblázat

Egy nyelvi változó tagsági függvényének értékei

	Intervallum az univerzális skálán

Rizs. 3 . A „Tanfolyam minőségi szintje” nyelvi változó értékeinek tagsági függvényeinek grafikonja

A 3. ábrán a folytonos vonalak a „Tanfolyam minőségi szintje” nyelvi változó értékeinek tagsági függvényeit mutatják a felmérés eredményeit tartalmazó táblázat feldolgozása után. Amint az a grafikonon látható, a tagsági függvények kielégítik a fent leírt tulajdonságokat. Összehasonlításképpen a szaggatott vonal a LOW értékhez tartozó nyelvi változó tagsági függvényét mutatja adatfeldolgozás nélkül.

2.4.4. A fuzzy halmazok statisztikájáról

A fuzzy halmazok a nem numerikus természetű objektumok egy speciális fajtája. A nem numerikus természetű objektumok elemzésére szolgáló statisztikai módszereket a. Különösen egy fuzzy halmaz átlagértéke határozható meg a következő képlettel:

,

A.

Mint ismeretes, a nem numerikus adatok statisztikájának módszerei a távolságok (vagy különbségi mutatók) használatán alapulnak a megfelelő, nem numerikus jellegű terekben. Távolság a fuzzy részhalmazok között AÉs BAN BEN készletek x = {x 1, x 2, …, x k) így definiálható

hol van a fuzzy halmaz tagsági függvénye A, a - a fuzzy halmaz tagsági függvénye B. Más távolságok is használhatók:

(Vegyük ezt a távolságot 0-nak, ha a tagsági függvények azonosak 0-val.)

A nem numerikus terekben a távolságok (metrikák) megválasztásának axiomatikus megközelítésével összhangban az axiómarendszerek kiterjedt halmazát fejlesztették ki, amelyekből az adott terekben található távolságok (metrikák) egyik vagy másik típusa származik. Valószínűségi modellek használatakor a véletlenszerű fuzzy halmazok közötti távolság maga egy valószínűségi változó, amely számos beállításban aszimptotikusan normális eloszlású.

2.4.5. Fuzzy halmazok véletlen halmazok vetületeiként

A modern fuzzy elmélet megjelenésének kezdetétől, az 1960-as években elkezdődött a valószínűségelmélettel való kapcsolatának vita. A tény az, hogy egy fuzzy halmaz tagsági függvénye egy valószínűségi eloszláshoz hasonlít. Az egyetlen különbség az, hogy a valószínűségek összege a valószínűségi változó (vagy az integrál, ha a lehetséges értékek halmaza megszámlálhatatlan) összes lehetséges értéke mindig egyenlő 1-gyel, és az összeg S a tagsági függvény értéke (folytonos esetben - a tagsági függvény integrálja) tetszőleges nem negatív szám lehet. Fennáll a kísértés a tagsági funkció normalizálására, i.e. osztja el az összes értékét S(nál nél S 0) valószínűségi eloszlásra (vagy valószínűségi sűrűségre) redukálni. A fuzzy-val foglalkozó szakemberek azonban joggal kifogásolják az ilyen „primitív” redukciót, mivel azt minden egyes fuzzy-halmazra külön-külön hajtják végre, és a fuzzy halmazokra vonatkozó közönséges műveletek definíciói nem érthetők vele. Az utolsó állítás a következőket jelenti. Legyen a fuzzy halmazok tagsági függvényei AÉs BAN BEN. Hogyan alakulnak át ebben az esetben a tagsági funkciók? Telepítse elvileg lehetetlen. Az utolsó állítás egészen világossá válik, ha több példát is megvizsgálunk olyan fuzzy halmazpárokra, amelyek a tagsági függvények azonos értékösszegeivel, de a halmazelméleti műveletek eltérő eredményeivel rendelkeznek, és a megfelelő tagsági függvények értékeinek összegeit. a halmazelméleti műveletek ezen eredményeire például a halmazok metszéspontjai is megkülönböztethetők.

A fuzzy halmazokkal foglalkozó munkákban meglehetősen gyakran hangzik el, hogy a fuzzy elmélet az alkalmazott matematika önálló ága, és semmi köze a valószínűségszámításhoz (lásd például a monográfiák szakirodalmi áttekintését). A fuzzy elméletet és a valószínűségszámítást összehasonlító szerzők általában hangsúlyozták az elméleti és az alkalmazott kutatás ezen területei közötti különbséget. Általában az axiomatikát és az alkalmazási területeket hasonlítják össze. Rögtön meg kell jegyezni, hogy a második típusú összehasonlításban szereplő érvek nem bírnak bizonyító erővel, hiszen még egy olyan nagy múltú tudományterület, mint a valószínűségstatisztikai módszerek alkalmazhatósági határairól is eltérőek a vélemények. Emlékezzünk vissza, hogy az egyik leghíresebb francia matematikus, Henri Lebesgue érvelésének eredménye az aritmetika alkalmazhatóságának határairól a következő: „Az aritmetika akkor alkalmazható, amikor alkalmazható” (lásd monográfiáját).

A fuzzy elmélet és a valószínűségszámítás különböző axiómáinak összehasonlításakor könnyen belátható, hogy az axiómák listája különbözik. Ebből azonban semmiképpen nem következik, hogy lehetetlen kapcsolatot teremteni ezen elméletek között, mint például az euklideszi geometria síkon jól ismert redukciója aritmetikára (pontosabban az elméletre). számrendszer- lásd például a monográfiát). Emlékezzünk vissza, hogy ez a két axiomatika - az euklideszi geometria és az aritmetika - első pillantásra nagyon különbözik.

Megérthető az új irányzat rajongóinak vágya, hogy hangsúlyozzák tudományos apparátusuk alapvető újszerűségét. Ugyanilyen fontos azonban az új megközelítés és a korábban ismert megközelítések közötti kapcsolatok kialakítása.

Mint kiderült, a fuzzy halmazok elmélete szorosan összefügg a véletlenhalmazok elméletével. Még 1974-ben kimutatták a munkában, hogy természetes, hogy a fuzzy halmazokat véletlen halmazok "vetületeinek" tekintjük. Tekintsük ezt a módszert a fuzzy halmazok elméletének a véletlen halmazok elméletére való redukálására.

2. definíció. Hadd egy véges U halmaz véletlenszerű részhalmaza. homályos készlet BAN BEN, határozta meg U, projekciónak nevezzük Aés jelöltük A projekt, Ha

(8)

mindenkinek

Nyilvánvalóan minden véletlenszerű halmaz A a (8) képlet fuzzy halmaza segítségével megfeleltethető B = ProjA. Kiderül, hogy ennek az ellenkezője is igaz.

3. tétel. Bármilyen fuzzy részhalmazhoz BAN BEN végső készletek Nál nél van egy véletlenszerű részhalmaz A készletek Nál nél oly módon, hogy B = A projekt.

Bizonyíték. Elegendő a véletlenhalmaz eloszlását megadni A. Hadd 1- hordozó BAN BEN(lásd fent az 1. meghatározást). Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük néhánynál més elemek 1úgy számozva, hogy

Bemutatjuk a készleteket

Az összes többi részhalmazhoz x készletek Nál nél tegyük fel P(A=X)=0. Mivel az elem y t tartalmazza a készlet I(1), I(2),…, I(t)és nincs benne készletek Y(t+1),…, Y(m), Hogy a fenti képletekből az következik Ha akkor nyilvánvalóan bebizonyosodik a 3. Tétel.

Egy független elemű véletlenhalmaz eloszlását a monográfia 8. fejezetének megfontolásaiból következően teljes mértékben annak vetülete határozza meg. Egy véges véletlenszerű halmazhoz Általános nézet ez rossz. Az elmondottak tisztázásához a következő tételre van szükségünk.

4. tétel. Egy véletlenszerű részhalmazhoz A készletek Nál nél véges számú elemből számhalmazok És egymáson keresztül fejezik ki .

Bizonyíték. A második halmazt a következőképpen fejezzük ki az elsővel:

Az első halmaz elemei a másodikban kifejezhetők a formális logikából való bezárások és kizárások képletével, amely szerint

Ebben a képletben az első összegben nál nél végigfut a halmaz összes elemén Y\X, a második összegben az összegzési változók 1És 2-kor nem esik egybe, és át is futja ezt a halmazt, és így tovább. A befoglalási és kizárási képletre való hivatkozás teszi teljessé a 4. Tétel bizonyítását.

A 4. Tétel szerint egy A véletlenhalmaz nemcsak eloszlással, hanem számkészlettel is jellemezhető. Ebben a halmazban nincs más egyenlőség típusú reláció. Ez a halmaz számokat tartalmaz, ezért egy véletlen halmaz vetületének rögzítése egyenértékű a rögzítéssel k = Kártya(Y) paraméterek innen (2k-1) véletlenhalmaz eloszlását meghatározó paraméterek Aáltalában.

A következő tétel hasznos lesz.

5. tétel. Ha Proj A = B, Hogy

Ennek bizonyításához elegendő a véletlen halmazok elméletéből származó azonosság, a lefedési valószínűség képlete, egy fuzzy halmaz tagadásának definíciója, valamint az a tény, hogy az összes P(A=x) egyenlő 1-gyel. Ebben az esetben a lefedés valószínűségének képlete a következő állítást jelenti: egy rögzített elem lefedésének valószínűségének meghatározása q véletlenszerű részhalmaz S véges halmaz K, elég kiszámolni

ahol az összegzés az összes részhalmaz felett van A készletek K tartalmazó q.

2.4.6. A fuzzy metszéspontjai és termékei

és véletlenszerű halmazok

Nézzük meg, hogyan kapcsolódnak a véletlen halmazokon végzett műveletek a vetületeiken végzett műveletekhez. A de Morgan-törvények (1. tétel) és az 5. tétel alapján elegendő a véletlen halmazok metszéspontjának műveletét figyelembe venni.

6. tétel. Ha véletlenszerű részhalmazok A 1És A 2 véges halmaz Nál nél függetlenek, akkor a fuzzy halmaz a fuzzy halmazok szorzata A 1. projektÉs Proj A 2.

Bizonyíték. Ezt minden esetben meg kell mutatnunk

Egy pont véletlen halmaz általi lefedésének valószínűségére vonatkozó képlet szerint (lásd fent)

Könnyen ellenőrizhető, hogy a véletlenhalmazok metszésponti eloszlása ​​közös eloszlásukkal a következőképpen fejezhető ki:

A (10) és (11) összefüggésekből következik, hogy a véletlenhalmazok metszéspontjának lefedésének valószínűsége dupla összegként ábrázolható

Jegyezze meg most, hogy a (12) képlet jobb oldala a következőképpen írható át:

(13)

Valójában a (12) képlet csak abban különbözik a (13) képlettől, hogy olyan kifejezéseket tartalmaz, amelyekben az összegző változók metszéspontja állandó értéket vesz fel. A véletlenhalmazok függetlenségének definícióját és az összegek szorzásának szabályát felhasználva azt kapjuk, hogy (12) és (13)-ból az egyenlőség következik

Ekkor a (14) egyenlőség a feltételre redukálódik

Nyilvánvaló, hogy a (15) reláció akkor és csak akkor teljesül R 2 R 3=0 minden i.e. nincs olyan elem, hogy ugyanakkor És , és ez ekvivalens a véletlenhalmazok támaszai metszéspontjának ürességével és . A 7. tétel bizonyítást nyer.

24.7. A műveletek sorrendjének felgöngyölítése

fuzzy halmazok felett egy műveletsorozathoz

véletlenszerű halmazok felett

A fentiekben néhány összefüggést kapunk a fuzzy és a véletlen halmazok között. Megjegyzendő, hogy ezeknek az összefüggéseknek a tanulmányozása a munkában a véletlen halmazok bevezetésével kezdődött a fuzzy halmazok apparátusának fejlesztése és általánosítása érdekében L. Zadeh. (A prioritás világszintű rögzítéséhez tanácsos megjegyezni, hogy ezt a munkát 1974-ben fejezték be, és a Szovjetunió Tudományos Akadémia Központi Gazdasági és Matematikai Intézetében jelentették be az All-Union Tudományos Szemináriumán "Többváltozós statisztikai elemzés és valószínűségszámítás". Valós folyamatok modellezése" 1974. december 18-án - lásd. .) A tény az, hogy a fuzzy halmazok matematikai apparátusa nem engedi figyelembe venni különféle lehetőségeket a segítségével modellezett fogalmak (objektumok) közötti függőségek nem elég rugalmasak. Tehát két fuzzy halmaz "közös részének" leírásához csak két művelet van - a szorzat és a metszés. Ha ezek közül az elsőt használjuk, akkor a halmazok valójában független véletlenhalmazok vetületeiként viselkednek (lásd fent a 6. tételt). A metszés művelete a halmazok közötti függőség típusát illetően is jól definiált megszorításokat ír elő (lásd fent 7. Tétel), és ebben az esetben még szükséges és elégséges feltételek is megtalálhatók. Kívánatos, hogy több lehetőség nyíljon a halmazok (fogalmak, objektumok) közötti függőség modellezésére. A véletlenhalmazok matematikai apparátusának használata biztosít ilyen lehetőségeket.

A fuzzy halmazok elméletének a véletlenhalmazok elméletére való redukálásának az a célja, hogy minden fuzzy halmazból származó konstrukció mögé lássunk egy véletlen halmazból egy olyan konstrukciót, amely meghatározza az első tulajdonságait, ahogyan egy valószínűségi eloszlási sűrűség mögött egy valószínűségi változót látunk. . Ebben az alfejezetben a fuzzy halmazok algebrájának véletlenhalmazok algebrájává való redukálására vonatkozó eredményeket mutatjuk be.

4. definíció. Valószínűségi tér (Ω , G, P} oszthatónak nevezzük, ha bármely mérhető halmazra X Gés bármilyen pozitív szám , kisebb P(X), mérhető Egy csomó oly módon, hogy

Példa. Legyen egy véges dimenziós lineáris tér egységkockája, G a Borel halmazok szigma-algebrája, és P a Lebesgue-mérték. Ekkor (Ω , G, P} - osztható valószínűségi tér.

Így egy osztható valószínűségi tér nem egzotikus. A szabályos kocka egy példa egy ilyen térre.

A példában megfogalmazott állítás bizonyítása standard matematikai módszerekkel történik. Ezek azon alapulnak, hogy egy mérhető halmaz tetszőlegesen pontosan közelíthető nyílt halmazokkal, ez utóbbiakat legfeljebb megszámlálható számú nyitott golyó összegeként ábrázolják, a golyók oszthatóságát pedig közvetlenül ellenőrzik (a térfogattestet elválasztjuk). az X golyóból a megfelelő síkkal).

8. tétel. Legyen adott egy véletlenszerű halmaz A osztható valószínűségi téren {Ω, G, P) a halmaz összes részhalmazának értékeivel Nál nél véges számú elemből, és egy fuzzy halmazból D tovább U. Aztán vannak véletlenszerű halmazok 1-től, 2-től, 3-tól, 4-től tovább ugyanaz a valószínűségi tér olyan, hogy

Ahol B = ProjA.

Bizonyíték. A fuzzy-ra (lásd fentebb 1. tétel) és a véletlen halmazokra vonatkozó de Morgan-törvények, valamint a fenti 5. tétel (a tagadásokról) érvényessége miatt elegendő a véletlenhalmazok létezésének bizonyítása. 1-tőlÉs 2-től .

Tekintsük a valószínűségi eloszlást a halmaz összes részhalmazának halmazában Nál nél, amely egy véletlen halmaznak felel meg VAL VEL oly módon, hogy Proj C = D(a 3. tétel alapján létezik). Építsünk egy véletlenszerű halmazt 2-től a megadott eloszlással, függetlenül attól A. Akkor a 6. tétel szerint.

Így a kapott véletlenhalmaz esetében a véletlenhalmaz nem változik). Végighurkolni az összes elemet Nál nél, véletlenszerű halmazt kapunk , amelyhez az előírt teljesül. A 8. tétel bizonyítva van.

A fuzzy halmazok elméletének a véletlenhalmazok elméletére való redukciójának fő eredményét a következő tétel adja.

9. tétel. Hadd - a halmaz néhány fuzzy részhalmaza Nál nél véges számú elemből. Tekintsük a halmazelméleti műveletek egymást követő végrehajtásának eredményeit

ahol a következő halmazelméleti műveletek egyikének szimbóluma fuzzy halmazokon: metszéspont, szorzat, unió, összeg (a különböző szimbólumok különböző helyeken lehetnek). Aztán vannak véletlenszerű részhalmazok ugyanaz a készlet Nál nél oly módon, hogy

és emellett a halmazelméleti műveletek eredményeit hasonló összefüggések kapcsolják össze

ahol a jel azt jelenti, hogy a vizsgált hely a véletlenhalmazok metszéspontjának szimbóluma, ha a definícióban B m a metszés szimbóluma vagy a fuzzy halmazok szorzatának szimbóluma, és ennek megfelelően a véletlen halmazok uniójának szimbóluma, ha B m az egyesülés szimbóluma vagy a fuzzy halmazok összegének szimbóluma.

A fuzzy halmazok elméletének és a fuzzy logikának az alapjait az 1960-as évek végén fektették le a híres amerikai matematikus, Lotfi Zadeh munkáiban. "Fuzzy Sets" című munkája, amely 1965-ben jelent meg az "Information and Control" folyóiratban, lendületet adott egy új matematikai elmélet kidolgozásának. Ő adta a nevet az új tudományágnak - "fuzzy sets" (fuzzy - homályos, homályos, lágy). Az új elmélet megjelenésének fő oka a fuzzy és közelítő érvelés volt, amelyet folyamatok, rendszerek, objektumok leírására használt egy személy. A fuzzy halmazok matematikai elmélete és a fuzzy logika általánosításai klasszikus elmélet halmazok és a klasszikus formális logika.

Több mint egy évtizedbe telt, mire a komplex rendszerek modellezésének fuzzy megközelítését világszerte elismerték. Mit kínált L. Zade? Először is kiterjesztette a halmaz klasszikus kántori fogalmát, feltételezve, hogy a karakterisztikus függvény (egy halmazban lévő elem tagsági függvénye) bármilyen értéket felvehet az intervallumban [ 0 , 1 ], és nem csak a 0 vagy 1 értékeket. Az ilyen halmazokat fuzzynak nevezte [21]. L. Zade emellett számos műveletet definiált fuzzy halmazokkal, és javasolta a következtetési módszerek általánosítását.

Ezt követően, bevezetve a nyelvi változó fogalmát, és feltételezve, hogy értékei (kifejezései) fuzzy halmazok, L. Zadeh megalkotott egy apparátust az intellektuális tevékenység folyamatainak leírására, beleértve a kifejezések homályosságát és bizonytalanságát (például magas, közepes). , jelentéktelen kockázatok).

A fuzzy halmazok feladata, hogy meghatározzák valamely objektum vagy elem tagságát egy adott halmazban. Hadd E - néhány készlet, és A- részhalmaz E, vagyis A Ì E. Az a tény, hogy a halmaz x eleme E a készlethez tartozik A halmazelméletben ezek a következők: x Ì A. Ennek az összetartozásnak a kifejezésére használhatunk egy másik fogalmat - a μA karakterisztikus függvényt ( x), amelynek értéke azt jelzi, hogy (igen vagy nem) x elem V:

A fuzzy halmazok elmélete szerint a karakterisztikus tagsági függvény tetszőleges értéket vehet fel az intervallumban, nem csak kettőt - 0 és 1. Ennek megfelelően az elem x beállítom E nem tartozhat A (μ Α ( x) = 0), legyen elem A kis fok (μA érték ( x) közel nullához), legyen elem A nagymértékben (μA ( x) közel 1) vagy elem lehet A(μA ( x) = 1). Tehát az összetartozás fogalma általánosított. Fuzzy alatt beállított A univerzális készlet E kijelöl Aés rendezett párok határozzák meg [ 22 ]:

A jellemző tagsági függvény (vagy csak a tagsági függvény) μA ( x) valamilyen rendezett halmazban vesz fel értékeket M(Például, M =). Ez a tagsági függvény egy x elem egy részhalmazhoz való tartásának fokát (vagy szintjét) jelzi A. Egy csomó M megbízhatósági halmaznak nevezzük. Ha M= (0, 1), akkor a fuzzy részhalmaz A közönséges vagy ropogós készletnek tekinthető.

A fuzzy halmazok, valamint a közönséges halmazok esetében a fő logikai műveletek meg vannak határozva.

Egyenlőség. Két fuzzy készlet AÉs BAN BEN egyenlőnek nevezzük, ha mindenki számára x Î E jellemző függvényeik egyenlőek: μA ( x) = μB ( x). Megnevezések: A = B.

Dominancia. Feltételezzük, hogy a fuzzy halmaz A a fuzzy halmazhoz tartozik BAN BEN, ha mindenért x Î E az összefüggés érvényes: μA ( x) £ μB ( x) jelöli: A Ì BAN BEN. Néha a „dominancia” kifejezést használják, vagyis amikor A Ì BAN BEN, azt mondják BAN BEN dominál A.

Kiegészítés. Hadd M = , AÉs BAN BEN --on meghatározott fuzzy halmazok E. AÉs BAN BEN kiegészítik egymást, ha ∀x Εμ /, (x) = 1 - μB (χ). Megnevezések: A = A

útkereszteződés két fuzzy halmaz (fuzzy "és") jelölve A ∩ BAN BEN - a legnagyobb fuzzy részhalmaz, amely egyidejűleg benne van AÉs BAN BEN.Így definiálva:

Egy egyesület két fuzzy halmaz (fuzzy "OR"), jelölve A ∪ BAN BEN a legkisebb fuzzy részhalmaz, amely mindkettőt tartalmazza A, és BAN BEN, tagsági funkcióval

Különbség két fuzzy halmaz A - BAN BEN = A ∩ Be tagsági funkció

Hadd M= és A - fuzzy készlet elemekkel x az univerzális készletből Eés a tagsági függvényértékek halmaza M. Az értéket ún magas homályos készlet A. homályos készlet A van Normál, ha magassága 1, azaz tagsági függvényének felső korlátja 1 (). A fuzzy halmazt ún szubnormális.

A fuzzy készlet az üres, Ha . Egy nem üres szubnormális halmaz normalizálható a képlettel

Műveletek vizuális megjelenítése fuzzy halmazokon. Tekintsünk egy téglalap alakú koordináta-rendszert, amelynek y tengelyén μA értékei vannak ábrázolva ( x), az x tengelyen - az elemek véletlenszerű sorrendben vannak elhelyezve E. Ha a készlet E természeténél fogva rendezett, ezt a sorrendet kívánatos megőrizni az elemek x tengelyen történő elhelyezésénél. Az ilyen ábrázolás vizuálisan egyszerű műveletek fuzzy halmazokon.

Hadd A - fuzzy intervallum 5 és 8 között, és BAN BEN- 4-hez közeli fuzzy szám (4.4. ábra, A , b) .

Az 5 és 8 I (ÉS) közötti fuzzy halmaz a 4 (sötét vonal) közelében a 4. ábrán látható. 4.4, V, fuzzy meg 5 és 8 között VAGY (OR) 4 körül - ábra. 4.4, G(sötét vonal).

Rizs. 4.4. Példák fuzzy halmazokra ( A , b) őket kereszteződések (V)és a szakszervezetek ( G)

A fuzzy halmazok leírásához bevezetjük a fuzzy és a nyelvi változók fogalmát. Egy fuzzy változót egy halmaz ír le<β, X, A>, ahol β a változó neve, X- univerzális készlet (β tartomány), A- fuzzy beállítva x, amely a β fuzzy változó értékeire vonatkozó korlátozásokat írja le.

Egy nyelvi változó értékei lehetnek fuzzy változók, azaz a nyelvi változó magas szint mint egy fuzzy változó. Minden nyelvi változó a következőkből áll: egy név; értékeinek halmazát, amelyet alap TERM halmaznak is neveznek T. Az alapfogalmak elemei az univerzális halmaz fuzzy változóinak nevei x szintaktikai szabály G, amellyel egy természetes vagy formális nyelv szavaival új kifejezéseket generálnak; szemantikai szabály R, amely egy nyelvi változó minden értékének a halmaz egy fuzzy részhalmazának felel meg x.

Egy nyelvi változót egy halmaz ír le<β, Τ , x , G , M> hol

β - a nyelvi változó neve;

T -értékeinek halmaza (term-set), amelyek fuzzy változók nevei, amelyek mindegyikének tartománya a halmaz x; Egy csomó T egy nyelvi változó alapfogalomkészletének nevezzük;

G- szintaktikai eljárás, amely lehetővé teszi, hogy egy kifejezéskészlet elemeivel operáljunk T, különösen új kifejezéseket (értékeket) generálnak;

M - szemantikai eljárás, amely lehetővé teszi az eljárás által képzett nyelvi változó minden egyes új értékének átalakítását G, egy fuzzy változóra, vagyis a megfelelő fuzzy halmaz létrehozására.

A fuzzy halmazok matematikai elmélete és a fuzzy logika a klasszikus halmazelmélet és a klasszikus formális logika általánosításai. Ezeket a fogalmakat először Lotfi Zadeh amerikai tudós javasolta 1965-ben. Az új elmélet megjelenésének fő oka a homályos és közelítő érvelés volt a folyamatok, rendszerek, tárgyak személy általi leírásakor.

Mielőtt a komplex rendszerek modellezésének fuzzy megközelítését világszerte felismerték, több mint egy évtized telt el a fuzzy halmazok elméletének megszületése óta. És a fuzzy rendszerek fejlődésének ezen az útján három időszakot szokás megkülönböztetni.

Az első időszakot (a 60-as évek vége-70-es évek eleje) a fuzzy halmazok elméleti apparátusának fejlődése jellemzi (L. Zadeh, E. Mamdani, Bellman). A második periódusban (70-80-as években) jelennek meg az első gyakorlati eredmények a komplex műszaki rendszerek fuzzy szabályozása (fuzzy control gőzgenerátor) területén. Ezzel párhuzamosan elkezdődött a figyelem a fuzzy logikán alapuló szakértői rendszerek kiépítésének, a fuzzy vezérlők fejlesztésének kérdéseire. A döntéstámogatás homályos szakértői rendszereit találják széles körű alkalmazás az orvostudományban és a közgazdaságtanban. Végül a 80-as évek végétől tartó és napjainkban is tartó harmadik periódusban megjelennek a fuzzy szakértői rendszerek kiépítésére szolgáló szoftvercsomagok, és érezhetően bővülnek a fuzzy logika alkalmazási területei. Alkalmazása az autóiparban, a repülőgépiparban és a szállítóiparban, a termékek területén Háztartási gépek, a pénzügy, az elemzés és a menedzsment döntéshozatal és még sok más területén.

A fuzzy logika diadalmas menetelése az egész világon azután kezdődött, hogy a 80-as évek végén Bartholomew Kosko bebizonyította a híres FAT-tételt (Fuzzy Approximation Theorem). Az üzleti életben és a pénzügyekben a fuzzy logika akkor nyert elismerést, amikor 1988-ban a pénzügyi mutatók előrejelzésére szolgáló fuzzy szabályokon alapuló szakértői rendszer volt az egyetlen, amely előre jelezte a tőzsdei összeomlást. A sikeres fuzzy alkalmazások száma pedig már több ezerre rúg.

Matematikai berendezés

A fuzzy halmaz jellemzője a tagsági függvény. Jelölje MF c (x) a C fuzzy halmazba való tagság fokát, amely egy közönséges halmaz karakterisztikus függvénye fogalmának általánosítása. Ekkor a C fuzzy halmaz a C=(MF c (x)/x), MF c (x) alakú rendezett párok halmaza. Az MF c (x)=0 érték azt jelenti, hogy nincs tagság a halmazban, 1 – teljes tagság.

Illusztráljuk ezt ebben egyszerű példa. Formalizáljuk a "forró tea" pontatlan meghatározását. Mivel x (érvelési terület) a hőmérsékleti skála lesz Celsius-fokban. Nyilvánvalóan 0-ról 100 fokra fog változni. A "forró tea" fogalmának homályos készlete így nézhet ki:

C=(0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100).

Tehát a 60 C-os tea a "Hot" készlethez tartozik, 0,80-as tagsági fokozattal. Egy személy számára a 60 C-os tea forró lehet, a másik számára nem túl forró. Ebben nyilvánul meg a megfelelő halmaz hozzárendelésének homályossága.

A fuzzy halmazok, valamint a közönséges halmazok esetében a fő logikai műveletek meg vannak határozva. A számításokhoz a legalapvetőbb a metszéspont és az unió.

Két fuzzy halmaz metszéspontja (Fuzzy "ÉS"): A B: MF AB (x)=min (MF A (x), MF B (x)).
Két fuzzy halmaz egyesítése (fuzzy "OR"): A B: MF AB (x) = max (MF A (x), MF B (x)).

A fuzzy halmazok elméletében a metszés-, unió- és összeadás operátorok végrehajtásának általános megközelítését fejlesztették ki, amelyet az úgynevezett háromszögnormákban és konormákban valósítottak meg. A metszés- és unióműveletek fenti megvalósításai a t-norma és a t-konorma leggyakoribb esetei.

A fuzzy halmazok leírásához bemutatjuk a fuzzy és a nyelvi változók fogalmát.

Egy fuzzy változót egy halmaz (N,X,A) ír le, ahol N a változó neve, X egy univerzális halmaz (érvelési terület), A egy fuzzy halmaz X-en.
Egy nyelvi változó értékei lehetnek fuzzy változók, pl. a nyelvi változó magasabb szinten van, mint a fuzzy változó. Minden nyelvi változó a következőkből áll:

• címek;
• értékeinek halmaza, amelyet T alapfogalmaknak is neveznek. Az alapfogalmak elemei fuzzy változók nevei;
• univerzális készlet X;
• egy G szintaktikai szabály, amely szerint új kifejezéseket generálnak természetes vagy formális nyelv szavaival;
• P szemantikai szabály, amely egy nyelvi változó minden értékét az X halmaz egy fuzzy részhalmazához társítja.

Tekintsünk egy ilyen homályos fogalmat, mint a „részvényár”. Ez a nyelvi változó neve. Alkossunk hozzá egy alapfogalomkészletet, amely három fuzzy változóból fog állni: "Alacsony", "Mérsékelt", "Magas" és állítsa be az érvelési területet X= (egységek) formában. Az utolsó tennivaló az, hogy a T alapfogalomkészletből tagsági függvényeket építsünk fel minden egyes nyelvi kifejezéshez.

Több mint egy tucat tipikus görbealak létezik a tagsági függvények meghatározására. A legelterjedtebbek a háromszög-, trapéz- és Gauss-tagsági függvények.

A háromszög tagsági függvényt egy számhármas (a,b,c) határozza meg, és értékét az x pontban a következő kifejezés szerint számítjuk ki:

$$MF\,(x) = \,\begin(esetek) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a\leq \,x\leq \,b &\ \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,b)(c\,-\,b),\,b\leq \,x\leq \ ,c &\ \\ 0, \;x\,\not \in\,(a;\,c)\ \end(esetek)$$

A (b-a)=(c-b)-vel egy szimmetrikus háromszög-tagsági függvény esete van, amely a triplából (a,b,c) két paraméterrel egyedileg megadható.

Hasonlóképpen a trapéztagsági függvény beállításához négy számra (a, b, c, d) van szükség:

$$MF\,(x)\,=\, \begin(esetek) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a \leq \,x\leq \,b & \\ 1,\,b\leq \,x\leq \,c & \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,c)(d \,-\,c),\,c\leq \,x\leq \,d &\\ 0, x\,\not \in\,(a;\,d) \ \end(esetek)$$

(b-a)=(d-c) esetén a trapéz tagsági függvény szimmetrikus alakot ölt.

A Gauss típusú tagsági függvényt a képlet írja le

$$MF\,(x) = \exp\biggl[ -\,(\Bigl(\frac(x\,-\,c)(\sigma)\Bigr))^2\biggr]$$

és két paraméterrel működik. Paraméter c a fuzzy halmaz közepét jelöli, a paraméter pedig a függvény meredekségéért felelős.

A tagsági függvények halmaza a T alapfogalmazat egyes tagjaihoz általában egy grafikonon együtt látható. A 3. ábra a fent leírt "Részvényár" nyelvi változóra mutat példát, a 4. ábra az "Egy személy életkora" pontatlan fogalmának formalizálását mutatja be. Tehát egy 48 éves személy esetében a "Fiatal" készlethez való tartozás mértéke 0, "Átlagos" - 0,47, "Átlag feletti" - 0,20.

A kifejezések száma egy nyelvi változóban ritkán haladja meg a 7-et.

Fuzzy következtetés

A fuzzy következtetési művelet végrehajtásának alapja az a szabálybázis, amely fuzzy utasításokat tartalmaz "Ha-akkor" formában, valamint a megfelelő nyelvi kifejezésekhez tartozó tagsági függvényeket. Ebben az esetben a következő feltételeknek kell teljesülniük:

1. A kimeneti változó minden egyes nyelvi tagjához legalább egy szabály tartozik.
2. A bemeneti változó bármely tagjához van legalább egy szabály, amelyben ez a kifejezés előfeltételként szerepel (a szabály bal oldala).

Ellenkező esetben hiányos a fuzzy szabályok alapja.

Legyen a szabálybázisban m szabály a következő formában:
R 1: HA x 1 A 11 … ÉS … x n A 1n, AKKOR y értéke B 1
…
R i: HA x 1 A i1 … ÉS … x n A, AKKOR y B i
…
R m: HA x 1 A i1 … ÉS … x n A mn, AKKOR y B m ,
ahol x k , k=1..n – bemeneti változók; y a kimeneti változó; Az ik fuzzy halmazokat kapnak tagsági függvényekkel.

A fuzzy következtetés eredménye az y * változó crisp értéke a megadott x k crisp értékek alapján, k=1..n.

Általánosságban elmondható, hogy a következtetési mechanizmus négy szakaszból áll: a homályosság (fuzzifikáció) bevezetése, a homályos következtetés, a kompozíció és az egyértelműségre redukálás vagy a defuzziálás (lásd az 5. ábrát).

A fuzzy következtetési algoritmusok főként a használt szabályok típusában, a logikai műveletekben és a defuzzifikációs módszer típusában különböznek egymástól. Mamdani, Sugeno, Larsen, Tsukamoto fuzzy következtetési modelleket fejlesztettek ki.

Vizsgáljuk meg részletesebben a fuzzy következtetést a Mamdani-mechanizmus példájával. Ez a legelterjedtebb logikai következtetési módszer fuzzy rendszerekben. A fuzzy halmazok minimax összetételét használja. Ez a mechanizmus a következő műveletsorokat tartalmazza.

1. Fuzzifikációs eljárás: az igazság fokait határozzák meg, i.e. a tagsági függvények értékei az egyes szabályok bal oldali részéhez (előfeltételek). Egy m szabállyal rendelkező szabálybázisnál az igazság fokait A ik (x k), i=1..m, k=1..n alakban jelöljük.

Homályos következtetés. Először is meg kell határozni az egyes szabályok bal oldalán lévő "vágási" szinteket:

$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_(ik)\,(x_k))$$

$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$

A kapott csonka függvények összetétele vagy egyesítése, amelyhez a fuzzy halmazok maximális összetételét használjuk:

$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

ahol MF(y) a kapott fuzzy halmaz tagsági függvénye.

Defuzzification, vagy redukálás az egyértelműség érdekében. Számos defuzzifikációs módszer létezik. Például az átlagos középpont módszer vagy a centroid módszer:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

Ennek az értéknek a geometriai jelentése az MF(y) görbe súlypontja. A 6. ábra grafikusan mutatja be a Mamdani fuzzy következtetési folyamatát két bemeneti változóra és két fuzzy szabályra, R1 és R2.

Integráció intelligens paradigmákkal

Az intellektuális információfeldolgozási módszerek hibridizálása az a mottója, amellyel a nyugati és amerikai kutatók átvészelték a 90-es éveket. A mesterséges intelligencia több technológiájának kombinálása eredményeként megjelent egy speciális kifejezés - "soft computing" (soft computing), amelyet L. Zadeh vezetett be 1994-ben. Jelenleg a soft computing olyan területeket egyesít, mint: fuzzy logika, mesterséges neurális hálózatok, valószínűségi gondolkodás és evolúciós algoritmusok. Kiegészítik egymást, és különféle kombinációkban használják hibrid intelligens rendszerek létrehozására.

A fuzzy logika hatása talán a legkiterjedtebbnek bizonyult. Ahogyan a fuzzy halmazok kiterjesztették a klasszikus matematikai halmazelmélet hatókörét, a fuzzy logika szinte a legtöbb adatbányászati ​​módszert „megtámadta”, új funkciókkal ruházva fel őket. Az alábbiakban a legtöbb érdekes példák ilyen egyesületek.

Fuzzy neurális hálózatok

A fuzzy neurális hálózatok (fuzzy-neural networks) a fuzzy logika apparátusa alapján következtetéseket vonnak le, azonban a tagsági függvények paramétereit NN tanulási algoritmusok segítségével hangolják. Ezért az ilyen hálózatok paramétereinek kiválasztásához a backpropagation módszert alkalmazzuk, amelyet eredetileg többrétegű perceptron betanítására javasoltak. Ehhez a fuzzy vezérlőmodult többrétegű hálózat formájában mutatják be. A fuzzy neurális hálózat általában négy rétegből áll: egy fuzzy réteg a bemeneti változók számára, egy réteg a feltétel aktiválási értékek összesítésére, egy réteg a fuzzy szabályok összesítésére és egy kimeneti réteg.

Jelenleg az ANFIS és TSK típusú fuzzy neurális hálózati architektúrák a legszélesebb körben használtak. Bebizonyosodott, hogy az ilyen hálózatok univerzális közelítők.

Gyors tanulási algoritmusok és a felhalmozott tudás értelmezhetősége – ezek a tényezők tették ma a fuzzy neurális hálózatokat az egyik legígéretesebb hatékony eszközök puha számítástechnika.

Adaptív fuzzy rendszerek

A klasszikus fuzzy rendszereknek az a hátránya, hogy a szabályok és a tagsági funkciók megfogalmazásához szükség van egy-egy témakör szakértőinek bevonására, amit nem mindig lehet biztosítani. Az adaptív fuzzy rendszerek megoldják ezt a problémát. Az ilyen rendszerekben a fuzzy rendszer paramétereit a kísérleti adatokon történő tanulás során választják ki. Az adaptív fuzzy rendszerek tanulására szolgáló algoritmusok viszonylag időigényesek és bonyolultak a neurális hálózatok tanulási algoritmusaihoz képest, és általában két szakaszból állnak: 1. Nyelvi szabályok létrehozása; 2. Tagsági funkciók korrekciója. Az első probléma a felsorolás típusú problémával, a második probléma a folytonos terekben történő optimalizálással kapcsolatos. Ebben az esetben egy bizonyos ellentmondás merül fel: tagsági függvények szükségesek a fuzzy szabályok generálásához, és szabályok szükségesek a fuzzy következtetés végrehajtásához. Ezenkívül a fuzzy szabályok automatikus generálásakor biztosítani kell azok teljességét és következetességét.

A fuzzy rendszerek képzési módszereinek jelentős része genetikai algoritmusokat használ. Az angol irodalomban ez egy speciális kifejezésnek felel meg - Genetic Fuzzy Systems.

F. Herrera vezette spanyol kutatócsoport jelentős mértékben hozzájárult a fuzzy rendszerek elméletének és gyakorlatának kidolgozásához evolúciós adaptációval.

Fuzzy Queries

Fuzzy lekérdezések adatbázisokhoz (fuzzy lekérdezések) – ígéretes irány modern rendszerek információ feldolgozás. Ezzel az eszközzel természetes nyelven fogalmazhat meg lekérdezéseket, például: "Jelenítse meg a városközponthoz közeli olcsó lakhatási ajánlatok listáját", ami a szabványos lekérdezési mechanizmussal nem lehetséges. Erre a célra fuzzy relációs algebrát és speciális SQL nyelvi kiterjesztéseket fejlesztettek ki fuzzy lekérdezésekhez. Az ezen a területen végzett kutatások nagy része D. Dubois és G. Prade nyugat-európai tudósoké.

Fuzzy asszociációs szabályok

A fuzzy asszociatív szabályok egy olyan eszköz, amellyel mintákat nyerhetünk ki az adatbázisokból, amelyek nyelvi kijelentésként vannak megfogalmazva. Itt bemutatjuk a fuzzy tranzakció speciális fogalmait, a fuzzy asszociációs szabály támogatását és megbízhatóságát.

Fuzzy kognitív térképek

A fuzzy kognitív térképeket B. Kosko javasolta 1986-ban, és egy bizonyos terület fogalmai között azonosított ok-okozati összefüggések modellezésére használják. Az egyszerű kognitív térképekkel ellentétben a fuzzy kognitív térképek fuzzy irányított gráfok, amelyek csomópontjai fuzzy halmazok. A gráf irányított élei nemcsak a fogalmak közötti ok-okozati összefüggéseket tükrözik, hanem meghatározzák a kapcsolódó fogalmak befolyásának mértékét (súlyát). A fuzzy kognitív térképek rendszermodellező eszközként való aktív használata az elemzett rendszer vizuális ábrázolásának lehetőségének és a fogalmak közötti ok-okozati összefüggések egyszerű értelmezésének köszönhető. A fő problémák a kognitív térkép készítésének folyamatával kapcsolatosak, amely nem alkalmas formalizálásra. Ezen túlmenően szükséges bizonyítani, hogy a megszerkesztett kognitív térkép megfelel a valós szimulált rendszernek. E problémák megoldására algoritmusokat dolgoztak ki adatminta alapján kognitív térképek automatikus készítésére.

Fuzzy klaszterezés

A fuzzy klaszterezési módszerek a precíz módszerekkel (például Kohonen neurális hálózatokkal) ellentétben lehetővé teszik, hogy ugyanaz az objektum egyszerre több klaszterhez tartozzon, de változó mértékben. A fuzzy klaszterezés sok esetben inkább "természetes", mint egyértelmű, például a klaszterek határán elhelyezkedő objektumok esetében. A legelterjedtebbek: a c-means fuzzy önszerveződési algoritmus és annak általánosítása a Gustafson-Kessel algoritmus formájában.

Irodalom

• Zadeh L. A nyelvi változó fogalma és alkalmazása közelítő döntések meghozatalára. – M.: Mir, 1976.
• Kruglov V.V., Dli M.I. Intelligens információs rendszerek: számítógépes támogatás fuzzy logikához és fuzzy következtetési rendszerekhez. – M.: Fizmatlit, 2002.
• Leolenkov A.V. Fuzzy modellezés a MATLAB-ban és a fuzzyTECH-ben. - Szentpétervár, 2003.
• Rutkovskaya D., Pilinsky M., Rutkovsky L. Neurális hálózatok, genetikai algoritmusok és fuzzy rendszerek. - M., 2004.
• Masalovich A. Fuzzy logika az üzleti életben és a pénzügyekben. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Fuzzy systems as univerzális közelítők // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, sz. 1994. november 11. - P. 1329-1333.
• Cordon O., Herrera F., Általános tanulmány a fuzzy genetikai rendszerekről // Genetic Algorithms in Engineering and Computer Science, 1995. - P. 33-57.